Знакозмінні ряди, абсолютна та умовна збіжність. Абсолютна збіжність рядів Дивитись що таке "ряд, що абсолютно сходить" в інших словниках
Знаком чередними рядами називаються ряди, члени яких поперемінно то позитивні, то негативні . Найчастіше розглядаються ряди, що чергуються, в яких члени чергуються через один: за кожним позитивним слід негативний, за кожним негативним - позитивний. Але зустрічаються ряди, в яких члени чергуються через два, три і так далі.
Розглянемо приклад ряду, що знак чергується, початок якого виглядає так:
3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...
і відразу ж загальні правилазаписи рядів, що чергуються.
Як і у будь-яких рядів, для продовження цього ряду потрібно задати функцію, що визначає загальний член ряду. У нашому випадку це n + 2 .
А як поставити чергування знаків членів низки? Множенням функції на мінус одиницю до певної міри. Якою мірою? Відразу підкреслимо, що не будь-яка ступінь забезпечує чергування знаків при членах ряду.
Припустимо, ми хочемо, щоб перший член ряду, що знак чергою, був з позитивним знаком, як це і має місце в наведеному вище прикладі. Тоді мінус одиниця має бути в мірі n− 1 . Почніть підставляти в цей вираз числа з одиниці і ви отримаєте як показник ступеня при мінус одиниці то парне, то непарне число. Це і є необхідна умова чергування знаків! Такий же результат отримаємо за n+1. Якщо ми хочемо, щоб перший член знакочередующегося ряду був із негативним знаком, можемо задати цей ряд множенням функції загального члена на одиницю ступеня n. Отримаємо то парне, то непарне число і таке інше. Як бачимо, вже описана умова чергування знаків виконана.
Таким чином, можемо записати наведений вище знак чергується ряд у загальному вигляді:
Для чергування знаків члена ряду ступінь мінус одиниці може бути сумою nі будь-якого позитивного чи негативного, парного чи непарного числа. Те ж саме стосується 3 n , 5n, ... Тобто, чергування знаків членів ряду, що чергується, забезпечує ступінь при мінус одиниці у вигляді суми n, помноженого на будь-яке непарне число та будь-якого числа.
Які ступені за мінус одиниці не забезпечують чергування знаків членів ряду? Ті, які є у вигляді n, помноженого на будь-яке парне число, до якого додано будь-яке число, включаючи нуль, парне або непарне. Приклади показників таких ступенів: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... У разі таких ступенів залежно від того, з яким числом складається "ен", помножене на парне число, виходять або лише парні, або лише непарні числа, що, як ми вже з'ясували, не дає чергування знаків членів ряду .
Знакочередующиеся ряди - окремий випадок знакозмінних рядів . Знакозмінні ряди - це ряди з членами довільних знаків тобто такими, які можуть бути позитивними і негативними в будь-якій послідовності. Приклад знакозмінного ряду:
3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...
Далі розглянемо ознаки збіжності знакочередних і знакозмінних рядів. Умовну збіжність знаків рядів, що чергуються, можна встановити за допомогою ознаки Лейбніца. А для ширшого кола рядів - знакозмінних (у тому числі й знак чергуються) - діє ознака абсолютної збіжності.
Збіжність знаків рядів, що чергуються. Ознака Лейбниця
Для знакочередуючих рядів має місце наступна ознака збіжності - ознака Лейбніца.
Теорема (ознака Лейбніца).Ряд сходиться, яке сума вбирається у першого члена, якщо одночасно виконуються такі дві умови:
- абсолютні величини членів знакочередного ряду зменшуються: u1 > u 2 > u 3 > ... > u n > ...;
- межа його загального члена за необмеженого зростання nдорівнює нулю.
Слідство. Якщо за суму ряду, що чергується, прийняти суму його nчленів, то допущена у своїй похибка не перевищить абсолютної величини першого відкинутого члена.
приклад 1.Дослідити збіжність ряду
Рішення. Це ряд, що знак чергується. Абсолютні величини його членів зменшуються:
а межа спільного члена
дорівнює нулю:
Обидві умови ознаки Лейбніца виконані, тому ряд сходиться.
приклад 2.Дослідити збіжність ряду
Рішення. Це ряд, що знак чергується. Спочатку доведемо, що :
,
.
Якщо N= 1 то для всіх n > Nвиконується нерівність 12 n − 7 > n. У свою чергу для кожного n. Тому, тобто члени низки за абсолютним значенням зменшуються. Знайдемо межу загального члена ряду (застосовуючи правило Лопіталя):
Межа загального члена дорівнює нулю. Обидві умови ознаки Лейбніца виконані, тому відповідь на питання про збіжність – позитивна.
приклад 3.Дослідити збіжність ряду
Рішення. Даний ряд, що чергується. З'ясуємо, чи виконується перша умова ознаки Лейбніца, тобто вимога . Щоб вимога виконувалася, необхідно, щоб
Ми переконалися, що вимога виконується всім n > 0 . Перший ознака Лейбніца виконується. Знайдемо межу загального члена ряду:
.
Межа не дорівнює нулю. Таким чином, друга умова ознаки Лейбніца не виконується, тому про збіжність не може бути й мови.
приклад 4.Дослідити збіжність ряду
Рішення. У цьому ряду за двома негативними членами йдуть два позитивні. Цей ряд - також знак чергою. З'ясуємо, чи виконується перша умова ознаки Лейбніца.
Вимога виконується всім n > 1 . Перший ознака Лейбніца виконується. З'ясуємо, чи дорівнює нулю межа загального члена (застосовуючи правило Лопіталя):
.
Здобули нуль. Таким чином, обидві умови ознаки Лейбніца виконуються. Збіжність має місце.
Приклад 5.Дослідити збіжність ряду
Рішення. Це ряд, що знак чергується. З'ясуємо, чи виконується перша умова ознаки Лейбніца. Так як
,
Так як n ≥ 0 , то 3 n+ 2> 0 . У свою чергу, для кожного nтому . Отже, члени низки за абсолютним значенням зменшуються. Перший ознака Лейбніца виконується. З'ясуємо, чи дорівнює нулю межа загального члена ряду (застосовуючи правило Лопіталя):
.
Набули нульового значення. Обидві умови ознаки Лейбніца виконуються, тому цей ряд сходиться.
Приклад 6.Дослідити збіжність ряду
Рішення. З'ясуймо, чи виконується перша умова ознаки Лейбніца для цього ряду, що чергується:
Члени низки за абсолютним значенням зменшуються. Перший ознака Лейбніца виконується. З'ясуємо, чи дорівнює нулю межа загального члена:
.
Межа загального члена не дорівнює нулю. Друга умова ознаки Лейбниця не виконується. Отже, цей ряд розходиться.
Ознака Лейбніца є ознакою умовної збіжності ряду. Отже, висновки про збіжність і розбіжності розглянутих вище знаків рядів можна доповнити: ці ряди сходяться (або розходяться) умовно.
Абсолютна збіжність знакозмінних рядів
Нехай ряд
- Знакозмінний. Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин його членів:
Визначення. Ряд називається абсолютно схожим, якщо сходиться ряд, складений з абсолютних величин його членів. Якщо ж знакозмінний ряд сходиться, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, розходиться, такий знакозмінний ряд називається умовно або неабсолютно схожим .
Теорема.Якщо ряд абсолютно сходиться, він сходиться і умовно.
Приклад 7.Встановити, чи сходиться ряд
Рішення. Відповідним даному ряду поруч із позитивними членами є ряд узагальнений гармонійний ряд, В якому , Тому ряд розходиться. Перевіримо дотримання умов ознаки Лейбниці.
Напишемо абсолютні значення перших п'яти членів низки:
.
Як бачимо, члени низки за абсолютним значенням зменшуються. Перший ознака Лейбніца виконується. З'ясуємо, чи дорівнює нулю межа загального члена:
Набули нульового значення. Обидві умови ознаки Лейбниця виконуються. Тобто за ознакою Лейбніца збіжність має місце. А відповідний ряд із позитивними членами розходиться. Отже, цей ряд сходиться умовно.
Приклад 8.Встановити, чи сходиться ряд
абсолютно, умовно, чи розходиться.
Рішення. Відповідним даному ряду поруч із позитивними членами є ряд Це узагальнений гармонійний ряд, в якому , тому ряд розходиться. Перевіримо дотримання умов ознаки Лейбниці.
Знакорядні ряди. Ознака Лейбниця.
Абсолютна та умовна збіжність
Щоб зрозуміти приклади цього уроку необхідно добре орієнтуватися в позитивних числових рядах: розуміти, що таке ряд, знати необхідну ознаку збіжності низки, вміти застосовувати ознаки порівняння, ознака Даламбера, ознаки Коші. Тему можна порушити практично з нуля, послідовно вивчивши статті Ряди для чайниківі Ознака Даламбер. Ознаки Коші. Логічно цей урок є третім за рахунком, і він дозволить не тільки розібратися в рядах, що знайдуть чергування, а й закріпити вже пройдений матеріал! Якийсь новизни буде небагато, і освоїти ряди, що знак чергуються, не складе великої праці. Все просто та доступно.
Що таке ряд ряд, що чергується?Це зрозуміло чи майже зрозуміло вже із самої назви. Відразу найпростіший приклад.
Розглянемо ряд і розпишемо його докладніше:
А зараз буде вбивчий коментар. У членів ряду, що чергується, чергуються знаки: плюс, мінус, плюс, мінус, плюс, мінус і т.д. до нескінченності.
Знак черга забезпечує множник: якщо парне, то буде знак «плюс», якщо непарне – знак «мінус» (як ви пам'ятаєте ще з уроку про числові послідовності, Ця штуковина називається «мигалкою»). Таким чином, ряд, що чергується, «пізнається» по мінус одиночці в ступені «ен».
У практичних прикладах знак чергування членів низки може забезпечувати як множник , а й його рідні брати: , , , …. Наприклад:
Підводним каменем є «обманки»: , , і т.п. – такі множники не забезпечують зміну знаку. Зрозуміло, що з будь-якому натуральному : , , . Ряди з обманками підсовують не тільки особливо обдарованим студентам, вони іноді виникають «самі собою» в ході рішення функціональних рядів.
Як дослідити ряд, що чергається, на збіжність?Використовувати ознаку Лейбніца. Про німецького гіганта думки Готфріда Вільгельма Лейбніца я розповідати нічого не хочу, оскільки, крім математичних праць, він накотив кілька томів з філософії. Небезпечно для мозку.
Ознака Лейбніца: Якщо члени ряду знакочередующегося монотонноспадають за модулем, то ряд сходиться.
Або у два пункти:
1) Ряд є знакочередним.
2) Члени низки убувають по модулю: , причому, зменшуються монотонно.
Якщо виконані ці умови, то ряд сходиться.
Коротка довідкапро модуль наведено у методичці Гарячі формули шкільного курсу математики, але для зручності ще раз:
Що означає «за модулем»? Модуль, як ми пам'ятаємо зі школи, "з'їдає" знак "мінус". Повернемося до ряду 
. Подумки зітремо гумкою всі знаки і подивимося на числа. Ми побачимо, що кожен наступнийчлен ряду меншеніж попередній. Таким чином, наступні фрази позначають те саме:
- Члени ряду без урахування знакуспадають.
- Члени ряду зменшуються за модулем.
- Члени ряду зменшуються по абсолютної величини.
– Модульзагального члена ряду прагне нуля:
// Кінець довідки
Тепер трохи поговоримо про монотонність. Монотонність – це нудна постійність.
Члени ряду суворо монотонноспадають за модулем, якщо КОЖНИЙ НАСТУПНИЙ член ряду за модулемМЕНШЕ, ніж попередній: . Для ряду виконано строгу монотонність спадання, її можна розписати докладно: 
А можна сказати коротше: кожен наступний член ряду за модулемменше, ніж попередній: .
Члени ряду нестрого монотонноспадають по модулю, якщо КОЖНИЙ НАСТУПНИЙ член ряду по модулю НЕ БІЛЬШЕ попереднього: . Розглянемо ряд із факторіалом: 
Тут має місце нестрога монотонність, тому що перші два члени ряду однакові за модулем. Тобто кожен наступний член ряду за модулемне більше попереднього: .
У разі теореми Лейбніца повинна виконуватися монотонність спадання (неважливо, строга чи нестрога). Крім того, члени ряду можуть навіть деякий час зростати за модулем, але «хвіст» ряду обов'язково має бути монотонно спадаючим.
Не треба лякатися того, що я нагородив, практичні приклади все розставлять на свої місця:
Приклад 1
До загального члена ряду входить множник , і це наштовхує на природну думку перевірити виконання умов ознаки Лейбніца:
1) Перевірка низки на знак чергування. Зазвичай у цьому пункті рішення низку розписують докладно 
і виносять вердикт «Ряд є знакочередним».
2) Чи зменшуються члени ряду по модулю? Тут потрібно вирішити межу, яка найчастіше є дуже простою.
– члени ряду не спадають за модулем, і з цього автоматично випливає його розбіжність – з тієї причини, що межі 
немає *, тобто, не виконаний необхідний ознака збіжності ряду .
Приклад 9
Дослідити ряд на збіжність
Приклад 10
Дослідити ряд на збіжність 
Після якісного опрацювання числових позитивних і знакозмінних рядів із чистою совістю можна перейти до функціональних рядів, які не менш монотонні та одноманітні цікаві.
Визначення 1
Числовий ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, члени якого мають довільні знаки (+), (?), називається знакозмінним рядом.
Розглянуті вище знакочередующиеся ряди є окремим випадком знакозмінного ряду; Відомо, що ні всякий знакозмінний ряд є знакочередним. Наприклад, ряд $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) - \frac(1)(7) +\ldots - $ знакозмінний, але що не є знакочередним рядом.
Зазначимо, що у знакозмінному ряді членів як зі знаком (+), і зі знаком (-) нескінченно багато. Якщо це виконується, наприклад, ряд містить кінцеве число негативних членів, їх можна відкинути і розглядати ряд, складений лише з позитивних членів, і навпаки.
Визначення 2
Якщо числовий ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ сходиться та її сума дорівнює S,а часткова сума дорівнює $S_n$ , то $r_(n) =S-S_( n) $ називається залишком ряду, причому $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n )) = S-S = 0 $, тобто. залишок схожого ряду прагне 0.
Визначення 3
Ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ називається схожим абсолютно, якщо сходиться ряд, складений з абсолютних величин його членів $\sum \limits _(n=1)^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.
Визначення 4
Якщо числовий ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ сходиться, а ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n ) \right| $, складений з абсолютних величин його членів, розходиться, то вихідний ряд називається умовно (неабсолютно) схожим.
Теорема 1 (достатня ознака збіжності знакозмінних рядів)
Знакозмінний ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ сходиться, причому абсолютно, якщо сходиться ряд, складений з абсолютних величин його членів$\sum \limits _(n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.
Зауваження
Теорема 1 дає лише достатню умову збіжності знакозмінних рядів. Зворотна теорема неправильна, тобто. якщо знакозмінний ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ сходиться, то не обов'язково, що сходиться ряд, складений з модулів $\sum \limits _(n=1)^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (Він може бути як схожим, так і розбіжним). Наприклад, ряд $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ сходиться за ознакою Лейбніца, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, $\sum \limits _(n=1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (гармонічний ряд) розходиться.
Властивість 1
Якщо ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ абсолютно сходиться, то він абсолютно сходиться за будь-якої перестановки його членів, при цьому сума ряду не залежить від порядку розташування членів. Якщо $S"$ - сума всіх його позитивних членів, а $S""$ - сума всіх абсолютних величин негативних членів, то сума ряду $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ дорівнює $S=S"-S""$.
Властивість 2
Якщо ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ абсолютно сходиться і $C=(\rm const)$, то ряд $\sum \limits _(n=1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ також абсолютно сходиться.
Властивість 3
Якщо ряди $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ і $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ абсолютно сходяться, то ряди $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ також абсолютно сходяться.
Властивість 4 (теорема Рімана)
Якщо ряд умовно сходиться, то яке б ми не взяли число А, можна переставити члени цього ряду так, щоб його сума виявилася рівною А; більше того, можна так переставити члени ряду, що умовно сходить, щоб після цього він розходився.
Приклад 1
Дослідити на умовну та абсолютну збіжність ряд
\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Рішення. Цей ряд є знакозмінним, загальний член якого позначимо: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Приклад 2
Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $.
- Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність. Позначимо $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ і складемо ряд з абсолютних величин $a_(n) =\left|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Отримуємо ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ з позитивними членами, до якого застосовуємо граничну ознаку порівняння рядів. Для порівняння з рядом $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ розглянемо ряд, який має вигляд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Цей ряд є рядом Діріхле з показником $p=\frac(1)(2)
- Далі досліджуємо вихідний ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ на умовну збіжність. Для цього перевіримо виконання умов ознаки Лейбниці. Умова 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, де $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , тобто. цей ряд знакочередний. Для перевірки умови 2) про монотонне зменшення членів ряду використовуємо наступний метод. Розглянемо допоміжну функцію $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $, визначену при $x\in (|a_(n)|))). Тоді
Твердження про збіжність в ознаках Коші і Даламбера виводиться з порівняння з геометричною прогресією (зі знаменниками lim n → ∞ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|)і α (\displaystyle \alpha)відповідно), про розбіжність - з того, що загальний член низки не прагне нуля.
Ознака Коші сильніша за ознаку Даламбера в тому сенсі, що якщо ознака Даламбера вказує на збіжність, то і ознака Коші вказує на збіжність; якщо ознака Коші не дозволяє зробити висновок про збіжність, то і ознака Даламбер теж не дозволяє зробити жодних висновків; Існують ряди, котрим ознака Коші свідчить про збіжність, а ознака Даламбера вказує на збіжність.
Інтегральний ознак Коші - Маклорена
Нехай заданий ряд ∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0)та функція f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) )така, що:
Тоді ряд ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n))та інтеграл ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx)сходяться або розходяться одночасно, причому ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ∾ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k) )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))
Ознака Раабе
Нехай заданий ряд ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0)і R n = n (a n a n + 1 - 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right).
Ознака Раабе заснована на порівнянні з узагальненим, гармонічним рядом.
Дії над рядами
Приклади
Розглянемо ряд 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 +. . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). Для цього ряду:
Таким чином, ознака Коші вказує на збіжність, ознака Даламбера не дозволяє зробити жодних висновків.
Розглянемо ряд ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))
Таким чином, ознака Коші вказує на розбіжність, ознака Даламбера не дозволяє зробити жодних висновків.
Ряд ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha )))))сходиться за α > 1 (\displaystyle \alpha >1)і розходиться при α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), однак:
Таким чином, ознаки Коші та Даламбера не дозволяють зробити жодних висновків.
Ряд ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n)))сходиться умовно за ознакою, але не абсолютно, так як гармонійний ряд ∑ n = 1 ∞ | (−1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n)))розходиться.
, необмежена в лівій околиці точки b (\displaystyle b). Невласний інтеграл другого роду ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx)називається абсолютно схожимякщо сходиться інтеграл ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).