Sign-alternating series, absolute at conditional convergence. Ganap na convergence ng serye Tingnan kung ano ang isang "ganap na convergence series" sa ibang mga diksyunaryo
Ang mga alternatibong serye ay mga serye na ang mga termino ay salit-salit na positibo at negatibo. . Kadalasan, ang mga alternatibong serye ay isinasaalang-alang, kung saan ang mga termino ay humalili sa isa: ang bawat positibo ay sinusundan ng isang negatibo, ang bawat negatibo ay sinusundan ng isang positibo. Ngunit may mga salit-salit na hanay kung saan ang mga miyembro ay humalili pagkatapos ng dalawa, tatlo, at iba pa.
Isaalang-alang ang isang halimbawa ng isang alternatibong serye, ang simula nito ay ganito ang hitsura:
3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...
at kaagad pangkalahatang tuntunin mga talaan ng mga alternating row.
Tulad ng sa kaso ng anumang serye, upang ipagpatuloy ang seryeng ito, kailangan mong tukuyin ang isang function na tumutukoy sa karaniwang termino ng serye. Sa aming kaso, ito n + 2 .
At paano itakda ang paghahalili ng mga palatandaan ng mga miyembro ng serye? Pagpaparami ng function sa pamamagitan ng minus one hanggang sa ilang antas. Sa anong antas? Binibigyang-diin namin kaagad na walang anumang antas ang nagbibigay ng paghahalili ng mga palatandaan sa mga tuntunin ng serye.
Sabihin nating gusto nating maging positibo ang unang termino ng isang alternating series, gaya ng kaso sa halimbawa sa itaas. Pagkatapos ay dapat na nasa kapangyarihan ang minus one n− 1 . Simulan ang pagpapalit ng mga numero simula sa isa sa expression na ito at makakakuha ka bilang isang exponent sa minus one, pagkatapos ay isang kahit, pagkatapos ay isang kakaibang numero. Ito ang kinakailangang kondisyon para sa paghahalili ng mga palatandaan! Nakukuha namin ang parehong resulta kapag n+ 1 . Kung gusto nating maging negatibo ang unang termino ng alternating series, maaari nating tukuyin ang seryeng ito sa pamamagitan ng pag-multiply ng common term function ng isa sa power n. Nakakakuha tayo ng even na numero, pagkatapos ay isang kakaibang numero, at iba pa. Tulad ng nakikita mo, ang inilarawan na kondisyon para sa paghalili ng mga palatandaan ay natupad.
Kaya, maaari nating isulat ang alternating serye sa itaas sa pangkalahatang anyo:
Para sa mga alternating sign ng isang termino ng isang serye, ang power minus one ay maaaring ang kabuuan n at anumang positibo o negatibo, kahit o kakaibang numero. Ang parehong naaangkop sa 3 n , 5n, ... Iyon ay, ang paghahalili ng mga palatandaan ng mga miyembro ng alternating series ay nagbibigay ng degree sa minus one sa anyo ng isang kabuuan n i-multiply sa anumang kakaibang numero at anumang numero.
Anong mga degree sa minus one ang hindi nagbibigay ng paghahalili ng mga palatandaan ng mga miyembro ng serye? Ang mga naroroon sa anyo n minu-multiply sa anumang even na numero, kung saan idinaragdag ang anumang numero, kabilang ang zero, even o odd. Mga halimbawa ng mga tagapagpahiwatig ng naturang mga antas: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... Sa kaso ng mga naturang degree, depende sa bilang kung saan idinagdag ang "en", na pinarami ng isang even na numero, alinman sa kahit na o mga kakaibang numero lamang ang nakuha, na, tulad ng nalaman na natin, ay ginagawa. hindi nagbibigay ng paghahalili ng mga senyales ng mga miyembro ng serye.
Alternating series - isang espesyal na kaso papalit-palit na serye . Ang mga alternatibong serye ay mga serye na may mga miyembro ng arbitrary na mga palatandaan , iyon ay, ang mga maaaring maging positibo at negatibo sa anumang pagkakasunud-sunod. Isang halimbawa ng alternating series:
3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...
Susunod, isaalang-alang ang pamantayan ng convergence para sa alternating at alternating series. Maaaring maitatag ang conditional convergence ng alternating series gamit ang Leibniz test. At para sa isang mas malawak na hanay ng mga serye - alternating (kabilang ang alternating) - mayroong isang tanda ng ganap na tagpo.
Convergence ng alternating series. Leibniz sign
Para sa alternating series, ang sumusunod na pagsubok ng convergence ay nagaganap - ang Leibniz test.
Theorem (pagsusulit sa Leibniz). Ang serye ay nagtatagpo, at ang kabuuan nito ay hindi lalampas sa unang termino, kung ang sumusunod na dalawang kundisyon ay sabay na natutugunan:
- ang ganap na halaga ng mga miyembro ng alternating series ay bumababa: u1 > u 2 > u 3 > ... > u n > ...;
- limitasyon ng karaniwang termino nito na may walang limitasyong pagtaas n katumbas ng zero.
Bunga. Kung para sa kabuuan ng isang alternating serye ay kukunin natin ang kabuuan nito n mga tuntunin, kung gayon ang error na pinapayagan sa kasong ito ay hindi lalampas sa ganap na halaga ng unang itinapon na termino.
Halimbawa 1 Siyasatin ang convergence ng isang serye
Solusyon. Ito ay isang alternating row. Ang ganap na halaga ng mga miyembro nito ay bumababa:
at ang limitasyon ng karaniwang termino
katumbas ng zero:
Ang parehong mga kondisyon ng pagsubok sa Leibniz ay nasiyahan, kaya ang serye ay nagtatagpo.
Halimbawa 2 Siyasatin ang convergence ng isang serye
Solusyon. Ito ay isang alternating row. Patunayan muna natin na:
,
.
Kung ang N= 1 , pagkatapos ay para sa lahat n > N hindi pagkakapantay-pantay 12 n − 7 > n. Sa turn, para sa bawat isa n. Samakatuwid, iyon ay, ang mga tuntunin ng serye ay bumaba sa ganap na halaga. Hanapin natin ang limitasyon ng karaniwang termino ng serye (gamit ang Ang panuntunan ng L'Hopital):
Ang limitasyon ng karaniwang termino ay zero. Ang parehong mga kondisyon ng pamantayan ng Leibniz ay natutugunan, kaya ang sagot sa tanong ng convergence ay positibo.
Halimbawa 3 Siyasatin ang convergence ng isang serye
Solusyon. Ang isang alternating serye ay ibinigay. Alamin natin kung ang unang kundisyon ng Leibniz sign ay natugunan, iyon ay, ang kinakailangan . Para matugunan ang pangangailangan, kailangan iyon
Tiniyak namin na ang kinakailangan ay natutugunan para sa lahat n > 0 . Ang unang pagsubok sa Leibniz ay nasiyahan. Hanapin ang limitasyon ng karaniwang termino ng serye:
.
Ang limitasyon ay hindi zero. Kaya, ang pangalawang kondisyon ng pagsubok sa Leibniz ay hindi nasiyahan, kaya ang convergence ay wala sa tanong.
Halimbawa 4 Siyasatin ang convergence ng isang serye
Solusyon. Sa seryeng ito, dalawang negatibong termino ang sinusundan ng dalawang positibo. Papalit-palit din ang seryeng ito. Alamin natin kung ang unang kondisyon ng pagsubok sa Leibniz ay nasiyahan.
Ang pangangailangan ay natutugunan para sa lahat n > 1 . Ang unang pagsubok sa Leibniz ay nasiyahan. Alamin kung ang limitasyon ng karaniwang termino ay katumbas ng zero (gamit ang panuntunan ng L'Hopital):
.
Nakuha namin ang zero. Kaya, ang parehong mga kondisyon ng pagsubok sa Leibniz ay nasiyahan. Nasa lugar na ang convergence.
Halimbawa 5 Siyasatin ang convergence ng isang serye
Solusyon. Ito ay isang alternating row. Alamin natin kung ang unang kondisyon ng pagsubok sa Leibniz ay nasiyahan. kasi
,
kasi n ≥ 0 , pagkatapos 3 n+ 2 > 0 . Sa turn, para sa bawat isa n, kaya pala . Dahil dito, ang mga tuntunin ng serye ay bumaba sa ganap na halaga. Ang unang pagsubok sa Leibniz ay nasiyahan. Alamin natin kung ang limitasyon ng karaniwang termino ng serye ay katumbas ng zero (gamit ang panuntunan ng L'Hopital):
.
Nakatanggap ng null value. Ang parehong mga kondisyon ng pagsubok sa Leibniz ay nasiyahan, kaya ang seryeng ito ay nagtatagpo.
Halimbawa 6 Siyasatin ang convergence ng isang serye
Solusyon. Alamin natin kung ang unang kundisyon ng pagsubok sa Leibniz ay nasiyahan para sa magkakahaliling seryeng ito:
Ang mga tuntunin ng serye ay bumaba sa ganap na halaga. Ang unang pagsubok sa Leibniz ay nasiyahan. Alamin kung ang limitasyon ng karaniwang termino ay katumbas ng zero:
.
Ang limitasyon ng karaniwang termino ay hindi katumbas ng zero. Ang pangalawang kondisyon ng tanda ng Leibniz ay hindi natupad. Samakatuwid, ang seryeng ito ay nag-iiba.
Ang tanda ng Leibniz ay isang tanda conditional convergence ng serye. Nangangahulugan ito na ang mga konklusyon tungkol sa convergence at divergence ng alternating series na isinasaalang-alang sa itaas ay maaaring dagdagan: ang mga seryeng ito ay nagtatagpo (o naghihiwalay) nang may kondisyon.
Ganap na convergence ng alternating series
Hayaan ang hilera
- salit-salit. Isaalang-alang ang isang serye na binubuo ng mga ganap na halaga ng mga miyembro nito:
Kahulugan. Ang isang serye ay tinatawag na ganap na convergent kung ang isang serye na binubuo ng mga ganap na halaga ng mga termino nito ay nagtatagpo. Kung ang isang alternating series ay nagtatagpo, at ang isang serye na binubuo ng mga ganap na halaga ng mga miyembro nito ay nag-iiba, kung gayon ang naturang alternating series ay tinatawag na may kondisyon o hindi ganap na nagtatagpo .
Teorama. Kung ang isang serye ay ganap na nagtatagpo, kung gayon ito ay nagtatagpo nang may kondisyon.
Halimbawa 7 Tukuyin kung ang isang serye ay nagtatagpo
Solusyon. Naaayon sa seryeng ito sa tabi ng mga positibong termino ay ang seryeng This pangkalahatang harmonic series, kung saan , kaya nagkakaiba ang serye. Suriin natin kung ang mga kondisyon ng pagsubok sa Leibniz ay natutugunan.
Isulat natin ang mga ganap na halaga ng unang limang termino ng serye:
.
Tulad ng nakikita mo, ang mga tuntunin ng serye ay bumaba sa ganap na halaga. Ang unang pagsubok sa Leibniz ay nasiyahan. Alamin kung ang limitasyon ng karaniwang termino ay katumbas ng zero:
Nakatanggap ng null value. Ang parehong mga kondisyon ng pagsubok sa Leibniz ay nasiyahan. Iyon ay, sa batayan ng Leibniz, ang convergence ay nagaganap. At ang kaukulang serye na may mga positibong termino ay nag-iiba. Samakatuwid, ang seryeng ito ay nagko-converge nang may kondisyon.
Halimbawa 8 Tukuyin kung ang isang serye ay nagtatagpo
ganap, may kondisyon, o divergent.
Solusyon. Naaayon sa seryeng ito, sa tabi ng mga positibong termino, ay ang seryeng Ito ay isang pangkalahatang harmonic na serye, kung saan, samakatuwid, ang serye ay nag-iiba. Suriin natin kung nasiyahan ang mga kondisyon ng pagsubok sa Leibniz.
Alternating row. Leibniz sign.
Absolute at conditional convergence
Upang maunawaan ang mga halimbawa ng araling ito, kinakailangang maging bihasa sa positibong serye ng numero: upang maunawaan kung ano ang isang serye, upang malaman ang kinakailangang tanda ng tagpo ng serye, upang makapaglapat ng mga palatandaan ng paghahambing, d' Tanda ni Alembert, mga palatandaan ni Cauchy. Ang paksa ay maaaring itaas halos mula sa simula sa pamamagitan ng sunud-sunod na pag-aaral sa mga artikulo Mga hilera para sa mga teapot at Tanda ng d'Alembert. Mga palatandaan ng Cauchy. Logically, ang araling ito ay ang pangatlo sa isang hilera, at ito ay magbibigay-daan hindi lamang upang maunawaan ang mga alternating row, ngunit din upang pagsamahin ang materyal na sakop na! Magkakaroon ng kaunting bago, at hindi magiging mahirap na makabisado ang mga alternating row. Ang lahat ay simple at abot-kaya.
Ano ang alternating series? Ito ay malinaw o halos malinaw na mula sa pangalan mismo. Ang pinakasimpleng halimbawa lang.
Isaalang-alang ang serye at isulat ito nang mas detalyado:
Ngayon para sa killer comment. Ang mga miyembro ng isang alternating series ay kahaliling mga palatandaan: plus, minus, plus, minus, plus, minus, atbp. sa kawalang-hanggan.
Ang paghahalili ay nagbibigay ng isang multiplier: kung kahit na, pagkatapos ay magkakaroon ng plus sign, kung kakaiba, isang minus sign (tulad ng naaalala mo mula sa aralin tungkol sa mga pagkakasunud-sunod ng numero, ang gamit na ito ay tinatawag na "flasher"). Kaya, ang alternating serye ay "nakikilala" sa pamamagitan ng minus one sa kapangyarihan ng "en".
Sa mga praktikal na halimbawa, ang paghahalili ng mga tuntunin ng serye ay maaaring magbigay hindi lamang ng kadahilanan , kundi pati na rin ang mga kapatid nito: , , , …. Halimbawa:
Ang pitfall ay "tricks":,, etc. ay tulad ng mga multiplier huwag magbigay ng pagbabago ng tanda. Ito ay lubos na malinaw na para sa anumang natural na : , , . Ang mga hilera na may mga trick ay nadudulas hindi lamang sa mga espesyal na mahuhusay na mag-aaral, paminsan-minsan ay lumilitaw ang mga ito "mag-isa" sa kurso ng paglutas functional na mga hilera.
Paano suriin ang isang alternating series para sa convergence? Gamitin ang Leibniz sign. Hindi ko nais na pag-usapan ang tungkol sa higanteng pag-iisip ng Aleman na si Gottfried Wilhelm Leibniz, dahil bilang karagdagan sa mga gawaing matematika, nag-alis siya ng ilang mga volume sa pilosopiya. Delikado sa utak.
Leibniz sign: Kung ang mga miyembro ng alternating series monotonously bawasan ang modulo, pagkatapos ay nagtatagpo ang serye.
O sa dalawang talata:
1) Ang serye ay nagpapalit ng senyales.
2) Ang mga tuntunin ng serye ay bumababa sa modulo: , bukod dito, binabawasan ang monotonically.
Kung ang mga kundisyong ito ay natutugunan, ang serye ay nagtatagpo.
Maikling impormasyon tungkol sa modyul ay ibinigay sa manwal Mga Formula sa Hot School Mathematics, ngunit muli para sa kaginhawaan:
Ano ang ibig sabihin ng "modulo"? Ang module, tulad ng naaalala natin mula sa paaralan, ay "kumakain" ng minus sign. Balik tayo sa serye 
. Burahin sa isip ang lahat ng mga palatandaan gamit ang isang pambura at tingnan ang mga numero. Makikita natin yan bawat susunod miyembro ng hilera mas mababa kaysa sa nauna. Kaya, ang mga sumusunod na parirala ay nangangahulugan ng parehong bagay:
– Mga miyembro ng isang serye walang tanda bumaba.
– Ang mga miyembro ng serye ay bumababa modulo.
– Ang mga miyembro ng serye ay bumababa sa ganap na halaga.
– Module ang karaniwang termino ng serye ay may posibilidad na zero:
// pagtatapos ng tulong
Ngayon ay pag-usapan natin nang kaunti ang tungkol sa monotony. Ang monotony ay nakakainip na patuloy.
Mga miyembro ng hilera mahigpit na monotone bawasan ang modulo kung BAWAT SUSUNOD na miyembro ng serye modulo Mas mababa kaysa sa nakaraan: . Para sa isang numero Ang mahigpit na monotonicity ng pagbaba ay natutupad, maaari itong ilarawan nang detalyado: 
At masasabi natin sa madaling salita: bawat susunod na miyembro ng serye modulo mas mababa kaysa sa nauna: .
Mga miyembro ng hilera hindi mahigpit na monotone pagbaba sa modulus, kung ANG BAWAT SUSUNOD na termino ng serye modulo AY HINDI HIGIT SA nauna: . Isaalang-alang ang isang serye na may factorial: 
Dito, nagaganap ang hindi mahigpit na monotonicity, dahil ang unang dalawang termino ng serye ay magkapareho sa ganap na halaga. Ibig sabihin, bawat susunod na miyembro ng serye modulo hindi hihigit sa nauna: .
Sa ilalim ng mga kondisyon ng teorama ni Leibniz, ang monotonicity ng pagbaba ay dapat masiyahan (hindi mahalaga kung ito ay mahigpit o hindi mahigpit). Bilang karagdagan, ang mga miyembro ng serye ay maaaring kahit dagdagan ang modulo ng ilang panahon, ngunit ang "buntot" ng serye ay dapat na monotonically bumababa.
Hindi na kailangang matakot sa naipon ko, ang mga praktikal na halimbawa ay maglalagay ng lahat sa lugar nito:
Halimbawa 1
Kasama sa karaniwang termino ng serye ang factor , at ito ay nagmumungkahi ng natural na pag-iisip upang suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Leibniz criterion:
1) Sinusuri ang hilera para sa paghahalili. Karaniwan, sa puntong ito sa desisyon, ang serye ay inilarawan nang detalyado 
at ipasa ang hatol na "The series is sign-alternating".
2) Nababawasan ba ng mga tuntunin ng serye ang modulo? Dito kailangan mong lutasin ang limitasyon, na kadalasang napakasimple.
- ang mga tuntunin ng serye ay hindi bumababa sa ganap na halaga, at ito ay awtomatikong nagpapahiwatig ng pagkakaiba-iba nito - sa kadahilanang ang limitasyon 
ay hindi umiiral *, iyon ay, ang kinakailangang criterion para sa convergence ng serye ay hindi natutupad.
Halimbawa 9
Suriin ang serye para sa convergence
Halimbawa 10
Suriin ang serye para sa convergence 
Pagkatapos ng isang husay na pag-aaral ng numerical positive at alternating series na may malinis na budhi, maaari kang magpatuloy sa functional series, na hindi gaanong monotonous at pare-parehong interesante.
Kahulugan 1
Ang serye ng numero na $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, na ang mga miyembro ay may mga arbitrary na palatandaan (+), (?), ay tinatawag na alternating series.
Ang alternating series na isinasaalang-alang sa itaas ay isang espesyal na kaso ng alternating series; malinaw na hindi lahat ng alternating series ay alternating. Halimbawa, ang seryeng $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ alternating ngunit hindi character-alternating series.
Tandaan na sa isang alternating serye ng mga termino, parehong may sign (+) at may sign (-), mayroong walang katapusan na marami. Kung ito ay hindi totoo, halimbawa, ang serye ay naglalaman ng isang may hangganang bilang ng mga negatibong termino, kung gayon ang mga ito ay maaaring itapon at ang isang serye na binubuo lamang ng mga positibong termino ay maaaring isaalang-alang, at vice versa.
Kahulugan 2
Kung ang serye ng numero na $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay katumbas ng S, at ang bahagyang kabuuan ay katumbas ng $S_n$ , kung gayon ang $r_(n ) =S-S_( n) $ ay tinatawag na natitira sa serye, at $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ hanggang \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, ibig sabihin. ang natitira sa convergent series ay may posibilidad na 0.
Kahulugan 3
Ang isang serye na $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ay tinatawag na ganap na convergent kung ang serye ay binubuo ng ganap na halaga ng mga miyembro nito $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\kaliwa|u_(n) \kanan| $.
Kahulugan 4
Kung ang serye ng numero na $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ay nagtatagpo at ang series na $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\kanan| $, na binubuo ng mga ganap na halaga ng mga miyembro nito, ay nag-iiba, pagkatapos ang orihinal na serye ay tinatawag na kondisyonal (hindi ganap) na nagtatagpo.
Theorem 1 (isang sapat na criterion para sa convergence ng alternating series)
Ang alternating series na $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ay ganap na nagtatagpo kung ang serye ay binubuo ng absolute values ng mga miyembro nito$\sum \limits _(n=1) ^ nagtatagpo (\infty )\kaliwa|u_(n) \kanan| $.
Magkomento
Ang Theorem 1 ay nagbibigay lamang ng sapat na kondisyon para sa convergence ng alternating series. Ang converse theorem ay hindi totoo, i.e. kung ang alternating series na $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ay nagtatagpo, kung gayon hindi kinakailangan na ang serye ay binubuo ng mga module $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\left|u_(n) \right| $ (maaari itong maging convergent o divergent). Halimbawa, ang seryeng $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( Ang \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ ay nagtatagpo ayon sa Leibniz test, at ang serye na binubuo ng mga absolute value ng mga termino nito ay $\sum \limits _(n =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmonic series) diverges.
Ari-arian 1
Kung ang seryeng $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ay ganap na nagtatagpo, kung gayon ito ay ganap na nagtatagpo para sa anumang permutasyon ng mga miyembro nito, at ang kabuuan ng serye ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng mga miyembro. Kung ang $S"$ ay ang kabuuan ng lahat ng positibong termino nito, at ang $S""$ ay ang kabuuan ng lahat ng ganap na halaga ng mga negatibong termino nito, kung gayon ang kabuuan ng serye ay $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ ay katumbas ng $S=S"-S""$.
Ari-arian 2
Kung ang seryeng $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ay ganap na nagtatagpo at $C=(\rm const)$, kung gayon ang serye $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ ay ganap ding nagtatagpo.
Ari-arian 3
Kung ang seryeng $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ at $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ ay ganap na nagsalubong, kung gayon ang seryeng $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ ay ganap ding nagtatagpo.
Property 4 (Riemann's theorem)
Kung ang serye ay may kondisyong nagtatagpo, kung gayon kahit na anong numero A ang ating kunin, maaari nating muling ayusin ang mga tuntunin ng seryeng ito upang ang kabuuan nito ay eksaktong katumbas ng A; bukod pa rito, posibleng muling ayusin ang mga tuntunin ng isang seryeng may kondisyon na nagtatagpo sa paraang pagkatapos nito ay magkakaiba ito.
Halimbawa 1
Siyasatin ang serye para sa conditional at absolute convergence
\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Solusyon. Ang seryeng ito ay sign-alternating, ang karaniwang termino na tinutukoy namin: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Halimbawa 2
Suriin ang seryeng $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ para sa absolute at conditional convergence.
- Sinusuri namin ang serye para sa ganap na convergence. Tukuyin ang $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ at bumuo ng serye ng mga absolute values $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Nakukuha namin ang seryeng $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ na may mga positibong termino, kung saan inilalapat namin ang limitasyon na pamantayan para sa paghahambing ng serye. Para sa paghahambing sa $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ isaalang-alang ang isang serye na may anyong $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Ang seryeng ito ay isang seryeng Dirichlet na may exponent na $p=\frac(1)(2)
- Susunod, sinusuri namin ang orihinal na serye na $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ para sa conditional convergence. Upang gawin ito, sinusuri namin ang katuparan ng mga kondisyon ng pagsubok sa Leibniz. Kundisyon 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, kung saan $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , ibig sabihin. ang seryeng ito ay salit-salit. Upang i-verify ang kundisyon 2) sa monotonous na pagbaba sa mga tuntunin ng serye, ginagamit namin ang sumusunod na paraan. Isaalang-alang ang auxiliary function na $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ na tinukoy para sa $x\in (|a_(n)|))). Pagkatapos
Ang assertion ng convergence sa mga palatandaan ng Cauchy at d'Alembert ay nagmula sa isang paghahambing sa isang geometric progression (na may denominators lim¯n → ∞ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\kanan|) at α (\displaystyle \alpha ) ayon sa pagkakabanggit), tungkol sa divergence - mula sa katotohanan na ang karaniwang termino ng serye ay hindi malamang na zero.
Ang Cauchy test ay mas malakas kaysa sa d'Alembert test sa kahulugan na kung ang d'Alembert test ay nagpapahiwatig ng convergence, kung gayon ang Cauchy test ay nagpapahiwatig ng convergence; kung hindi tayo pinapayagan ng Cauchy test na gumawa ng konklusyon tungkol sa convergence, hindi rin tayo pinapayagan ng d'Alembert test na gumawa ng anumang konklusyon; may mga serye kung saan ang pagsusulit ng Cauchy ay nagpapahiwatig ng tagpo, ngunit ang pagsubok sa d'Alembert ay hindi nagpapahiwatig ng tagpo.
Integral sign Cauchy - Maclarin
Hayaang bigyan ng serye ∑ n = 1 ∞ a n , a n ≥ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0) at pag-andar f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) ) tulad na:
Tapos yung series ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n)) at integral ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx) magkasabay o mag-diverge, at ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\infty )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))
Mag-sign Raabe
Hayaang bigyan ng serye ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0) at R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)).
Ang Raabe sign ay batay sa paghahambing sa pangkalahatang harmonic series
Mga Aksyon sa Hanay
Mga halimbawa
Isaalang-alang ang serye 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). Para sa row na ito:
Kaya, ang Cauchy test ay nagpapahiwatig ng convergence, habang ang d'Alembert test ay hindi pinapayagan ang anumang mga konklusyon na iguguhit.
Isaalang-alang ang serye ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))
Kaya, ang pagsusulit ng Cauchy ay nagpapahiwatig ng pagkakaiba-iba, habang ang pagsusulit ng d'Alembert ay hindi nagpapahintulot na makagawa ng anumang mga konklusyon.
hilera ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha )))) nagtatagpo sa α > 1 (\displaystyle \alpha >1) at diverges sa α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), ngunit:
Kaya, ang mga palatandaan ng Cauchy at d'Alembert ay hindi nagpapahintulot sa amin na gumawa ng anumang mga konklusyon.
hilera ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n))) converges converges ayon sa Leibniz criterion, ngunit hindi ganap, dahil ang harmonic series ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n))) diverges.
, ay walang hangganan sa kaliwang kapitbahayan ng punto b (\displaystyle b). Hindi wastong integral ng pangalawang uri ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx) tinawag ganap na nagtatagpo kung ang integral ay nagtatagpo ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).