Serii alternante de semne, convergență absolută și condiționată. Convergența absolută a seriei Vezi ce este o „serie absolut convergentă” în alte dicționare
Serii alternante sunt serii ai căror termeni sunt alternativ pozitivi și negativi. . Cel mai adesea se iau în considerare serii alternante, în care termenii alternează printr-unul: fiecare pozitiv este urmat de un negativ, fiecare negativ este urmat de un pozitiv. Dar există rânduri alternative în care membrii alternează după doi, trei și așa mai departe.
Luați în considerare un exemplu de serie alternativă, al cărei început arată astfel:
3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...
si imediat reguli generaleînregistrări ale rândurilor alternative.
Ca și în cazul oricărei serii, pentru a continua această serie, trebuie să specificați o funcție care determină termenul comun al seriei. În cazul nostru, asta n + 2 .
Și cum să setați alternanța semnelor membrilor seriei? Înmulțirea funcției cu minus unu într-o anumită măsură. In ce grad? Subliniem imediat că nici un grad nu oferă alternanță de semne la termenii seriei.
Să presupunem că dorim ca primul termen al unei serii alternative să fie pozitiv, așa cum este cazul în exemplul de mai sus. Atunci minus unul trebuie să fie la putere n− 1 . Începeți să înlocuiți numerele începând de la unu în această expresie și veți obține ca exponent la minus unu, apoi un număr par, apoi un număr impar. Aceasta este condiția necesară pentru alternarea semnelor! Obținem același rezultat când n+ 1 . Dacă dorim ca primul termen al seriei alternante să fie negativ, atunci putem specifica această serie înmulțind funcția termenului comun cu unu la putere n. Obținem un număr par, apoi un număr impar și așa mai departe. După cum puteți vedea, condiția deja descrisă pentru alternarea semnelor este îndeplinită.
Astfel, putem scrie seria alternantă de mai sus în formă generală:
Pentru semnele alternante ale unui termen dintr-o serie, puterea minus unu poate fi suma nși orice număr pozitiv sau negativ, par sau impar. Același lucru este valabil și pentru 3 n , 5n, ... Adică alternarea semnelor membrilor seriei alternante asigură gradul la minus unu sub forma unei sume nînmulțit cu orice număr impar și orice număr.
Ce grade la minus unu nu asigură alternarea semnelor membrilor seriei? Cele care sunt prezente în formă nînmulțit cu orice număr par, la care se adaugă orice număr, inclusiv zero, par sau impar. Exemple de indicatori ai unor astfel de grade: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... În cazul unor astfel de grade, în funcție de numărul cu care se adaugă „en”, înmulțit cu un număr par, se obțin fie numai numere pare, fie doar impare, ceea ce, după cum am aflat deja, nu nu da alternare de semne ale membrilor seriei .
Serii alternative - un caz special serii alternante . Serii alternante sunt serii cu membri de semne arbitrare , adică cele care pot fi pozitive și negative în orice ordine. Un exemplu de serie alternativă:
3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...
În continuare, luați în considerare criteriile de convergență pentru seriile alternative și alternante. Convergența condiționată a seriilor alternative poate fi stabilită folosind testul Leibniz. Și pentru o gamă mai largă de serii - alternante (inclusiv alternante) - există un semn de convergență absolută.
Convergența serii alternative. semnul Leibniz
Pentru serii alternante are loc urmatorul test de convergenta - testul Leibniz.
Teoremă (testul Leibniz). Seria converge, iar suma ei nu depășește primul termen, dacă sunt îndeplinite simultan următoarele două condiții:
- valorile absolute ale membrilor seriei alternante scad: u1 > u 2 > u 3 > ... > u n > ...;
- limita termenului său comun cu majorare nelimitată n este egal cu zero.
Consecinţă. Dacă pentru suma unei serii alternative luăm suma ei n termeni, atunci eroarea admisă în acest caz nu va depăși valoarea absolută a primului termen aruncat.
Exemplul 1 Investigați convergența unei serii
Soluţie. Acesta este un rând alternativ. Valorile absolute ale membrilor săi scad:
iar limita termenului comun
este egal cu zero:
Ambele condiții ale testului Leibniz sunt îndeplinite, deci seria converge.
Exemplul 2 Investigați convergența unei serii
Soluţie. Acesta este un rând alternativ. Să demonstrăm mai întâi că:
,
.
În cazul în care un N= 1 , atunci pentru toate n > N inegalitatea 12 n − 7 > n. La rândul său, pentru fiecare n. Prin urmare, adică termenii seriei scad în valoare absolută. Să găsim limita termenului comun al seriei (folosind Regula lui L'Hopital):
Limita termenului comun este zero. Ambele condiții ale criteriului Leibniz sunt îndeplinite, deci răspunsul la întrebarea convergenței este pozitiv.
Exemplul 3 Investigați convergența unei serii
Soluţie. Se oferă o serie alternativă. Să aflăm dacă prima condiție a semnului Leibniz este îndeplinită, adică cerința . Pentru ca cerința să fie îndeplinită este necesar ca
Ne-am asigurat că cerința este îndeplinită pentru toți n > 0 . Primul test Leibniz este satisfăcut. Găsiți limita termenului comun al seriei:
.
Limita nu este zero. Astfel, a doua condiție a testului Leibniz nu este îndeplinită, deci convergența este exclusă.
Exemplul 4 Investigați convergența unei serii
Soluţie. În această serie, doi termeni negativi sunt urmați de doi pozitivi. Această serie este, de asemenea, alternativă. Să aflăm dacă prima condiție a testului Leibniz este îndeplinită.
Cerința este îndeplinită pentru toți n > 1 . Primul test Leibniz este satisfăcut. Aflați dacă limita termenului comun este egală cu zero (folosind regula lui L'Hopital):
.
Avem zero. Astfel, ambele condiții ale testului Leibniz sunt îndeplinite. Convergența este în vigoare.
Exemplul 5 Investigați convergența unei serii
Soluţie. Acesta este un rând alternativ. Să aflăm dacă prima condiție a testului Leibniz este îndeplinită. pentru că
,
pentru că n ≥ 0 , apoi 3 n+ 2 > 0 . La rândul său, pentru fiecare n, de aceea . În consecință, termenii seriei scad în valoare absolută. Primul test Leibniz este satisfăcut. Să aflăm dacă limita termenului comun al seriei este egală cu zero (folosind regula lui L'Hopital):
.
A primit o valoare nulă. Ambele condiții ale testului Leibniz sunt îndeplinite, astfel încât această serie converge.
Exemplul 6 Investigați convergența unei serii
Soluţie. Să aflăm dacă prima condiție a testului Leibniz este îndeplinită pentru această serie alternativă:
Termenii seriei scad în valoare absolută. Primul test Leibniz este satisfăcut. Aflați dacă limita termenului comun este egală cu zero:
.
Limita termenului comun nu este egală cu zero. A doua condiție a semnului Leibniz nu este îndeplinită. Prin urmare, această serie diverge.
Semnul Leibniz este un semn convergența condiționată a seriei. Aceasta înseamnă că concluziile despre convergența și divergența seriei alternative considerate mai sus pot fi completate: aceste serii converg (sau diverg) condiționat.
Convergența absolută a serii alternative
Lasă rândul
- alternant. Luați în considerare o serie compusă din valorile absolute ale membrilor săi:
Definiție. O serie se numește absolut convergentă dacă o serie compusă din valorile absolute ale termenilor săi converge. Dacă o serie alternativă converge și o serie compusă din valorile absolute ale membrilor săi diverge, atunci o astfel de serie alternativă se numește convergenți condiționat sau nu absolut .
Teorema. Dacă o serie converge absolut, atunci converge condiționat.
Exemplul 7 Determinați dacă o serie converge
Soluţie. Corespunzând acestei serii alături de termenii pozitivi este seria This serii armonice generalizate, unde , deci seria diverge. Să verificăm dacă sunt îndeplinite condițiile testului Leibniz.
Să scriem valorile absolute ale primilor cinci termeni ai seriei:
.
După cum puteți vedea, termenii seriei scad în valoare absolută. Primul test Leibniz este satisfăcut. Aflați dacă limita termenului comun este egală cu zero:
A primit o valoare nulă. Ambele condiții ale testului Leibniz sunt îndeplinite. Adică, pe baza lui Leibniz, are loc convergența. Și seria corespunzătoare cu termeni pozitivi diverge. Prin urmare, această serie converge condiționat.
Exemplul 8 Determinați dacă o serie converge
absolut, condiționat sau divergent.
Soluţie. Corespunzând acestei serii, alături de termenii pozitivi, este seria Aceasta este o serie armonică generalizată, în care, deci, seria diverge. Să verificăm dacă sunt îndeplinite condițiile testului Leibniz.
Alternând rânduri. semnul Leibniz.
Convergența absolută și condiționată
Pentru a înțelege exemplele acestei lecții, este necesar să fii bine versat în seria numerică pozitivă: să înțelegi ce este o serie, să cunoști semnul necesar de convergență al seriei, să poți aplica semne de comparație, d' Semnele lui Alembert, semnele lui Cauchy. Subiectul poate fi ridicat aproape de la zero prin studierea secvențială a articolelor Rânduri pentru ceainiceși Semnul lui d'Alembert. Semne ale lui Cauchy. În mod logic, această lecție este a treia la rând și va permite nu numai înțelegerea rândurilor alternante, ci și consolidarea materialului deja parcurs! Nu va fi puțină noutate și nu va fi dificil să stăpânești rândurile alternative. Totul este simplu și accesibil.
Ce este un serial alternativ? Acest lucru este clar sau aproape clar din numele în sine. Doar cel mai simplu exemplu.
Luați în considerare seria și scrieți-o mai detaliat:
Acum pentru comentariul criminalului. Membrii unei serii alternative alternează semne: plus, minus, plus, minus, plus, minus etc. catre infinit.
Alternarea oferă un multiplicator: dacă par, atunci va exista un semn plus, dacă impar, un semn minus (după cum vă amintiți din lecție despre secvențe de numere, acest instrument se numește „flasher”). Astfel, seria alternantă este „identificată” cu minus unu la puterea lui „en”.
În exemple practice, alternarea membrilor seriei poate oferi nu numai factorul , ci și frații săi: , , , …. De exemplu:
Capcana sunt "trucuri":,, etc. sunt astfel de multiplicatori nu furnizați schimbarea semnului. Este destul de clar că pentru orice natură : , , . Rândurile cu trucuri sunt alunecate nu numai elevilor deosebit de talentați, ci ocazional apar „de la sine” în cursul rezolvării rânduri funcționale.
Cum să examinăm o serie alternativă pentru convergență? Folosiți semnul Leibniz. Nu vreau să vorbesc despre gigantul german al gândirii Gottfried Wilhelm Leibniz, pentru că, pe lângă lucrările de matematică, a lansat mai multe volume despre filozofie. Periculoasă pentru creier.
semnul Leibniz: Dacă membrii seriei alternante monoton scade modulo, apoi seria converge.
Sau în două paragrafe:
1) Seria este alternant de semne.
2) Termenii seriei scad modulo: , de altfel, scad monoton.
Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, atunci seria converge.
Informatie scurta despre modul este dat în manual Formule de matematică la școală fierbinte, dar din nou pentru comoditate:
Ce înseamnă „modulo”? Modulul, așa cum ne amintim de la școală, „mănâncă” semnul minus. Să revenim la serie 
. Ștergeți mental toate semnele cu o radieră și uita-te la numere. Vom vedea asta fiecare în continuare membru de rând Mai puțin decât precedentul. Astfel, următoarele expresii înseamnă același lucru:
– Membrii unei serii fara semn scădea.
– Membrii seriei sunt în scădere modulo.
– Membrii seriei sunt în scădere pe valoare absolută.
– Modul termenul comun al seriei tinde spre zero:
// sfârşitul ajutorului
Acum să vorbim puțin despre monotonie. Monotonia este o constanță plictisitoare.
Membrii de rând strict monoton scade modulo dacă FIECARE URMĂTOR membru al seriei modulo MAI MAI MULT decât anterior: . Pentru un număr monotonitatea strictă a scăderii este îndeplinită, poate fi descrisă în detaliu: 
Și putem spune pe scurt: fiecare membru următor al seriei modulo mai puțin decât precedentul: .
Membrii de rând nu strict monoton scădere a modulului, dacă FIECARE URMĂTOR termen al seriei modulo NU ESTE MAI MARE DECĂT cel precedent: . Luați în considerare o serie cu un factorial: 
Aici are loc monotonitatea nestrictă, deoarece primii doi termeni ai seriei sunt identici ca valoare absolută. Adică fiecare membru următor al seriei modulo nu mai mult decât precedentul: .
În condițiile teoremei lui Leibniz, monotonitatea scăderii trebuie satisfăcută (nu contează dacă este strictă sau nestrictă). În plus, membrii seriei pot chiar crește modulo de ceva timp, dar „coada” serialului trebuie neapărat să fie monoton în scădere.
Nu trebuie să-ți fie frică de ceea ce am adunat, exemple practice vor pune totul la locul său:
Exemplul 1
Termenul comun al seriei include factorul , iar aceasta sugerează o idee firească pentru a verifica îndeplinirea condițiilor testului Leibniz:
1) Verificarea rândului pentru alternanță. De obicei, în acest moment al deciziei, seria este descrisă în detaliu 
și dați verdictul „Serialul este alternant de semne”.
2) Termenii seriei scad modulo? Aici trebuie să rezolvați limita, care este de cele mai multe ori foarte simplă.
- termenii seriei nu scad în valoare absolută, iar aceasta implică automat divergența acesteia - pentru că limita 
nu există *, adică nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei.
Exemplul 9
Examinați seria pentru convergență
Exemplul 10
Examinați seria pentru convergență 
După un studiu calitativ al seriilor numerice pozitive și alternante cu conștiința curată, puteți trece la serii funcționale, care nu sunt mai puțin monotone și uniform interesante.
Definiția 1
Seria de numere $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, ai cărei membri au semne arbitrare (+), (?), se numește serie alternantă.
Seriile alternante considerate mai sus sunt un caz special al seriei alternante; este clar că nu orice serie alternativă este alternativă. De exemplu, seria $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ serii alternante, dar nu alternante de caractere.
Rețineți că într-o serie alternantă de termeni, atât cu semnul (+), cât și cu semnul (-), există infinit de mulți. Dacă acest lucru nu este adevărat, de exemplu, seria conține un număr finit de termeni negativi, atunci aceștia pot fi aruncați și poate fi luată în considerare o serie compusă doar din termeni pozitivi și invers.
Definiția 2
Dacă seria de numere $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge și suma sa este egală cu S, iar suma parțială este egală cu $S_n$ , atunci $r_(n ) =S-S_( n) $ se numește restul seriei și $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ la \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, i.e. restul seriei convergente tinde spre 0.
Definiția 3
O serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ se numește absolut convergentă dacă seria compusă din valorile absolute ale membrilor săi $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.
Definiția 4
Dacă seria de numere $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge și seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\dreapta| $, compus din valorile absolute ale membrilor săi, diverge, apoi seria originală se numește convergentă condiționat (neabsolut).
Teorema 1 (un criteriu suficient pentru convergența serii alternative)
Seria alternantă $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge absolut dacă seria compusă din valorile absolute ale membrilor săi$\sum \limits _(n=1) ^ converge (\infty )\left|u_(n) \right| $.
cometariu
Teorema 1 oferă doar o condiție suficientă pentru convergența serii alternative. Teorema inversă nu este adevărată, adică dacă seria alternativă $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge, atunci nu este necesar ca seria compusă din module $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\left|u_(n) \right| $ (poate fi fie convergent, fie divergent). De exemplu, seria $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ converge conform testului Leibniz, iar seria compusă din valorile absolute ale membrilor săi $\sum \limits _(n= 1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (seria armonică) diverge.
Proprietatea 1
Dacă seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge absolut, atunci converge absolut pentru orice permutare a membrilor săi, iar suma seriei nu depinde de ordine a membrilor. Dacă $S"$ este suma tuturor termenilor săi pozitivi și $S""$ este suma tuturor valorilor absolute ale termenilor săi negativi, atunci suma seriei este $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ este egal cu $S=S"-S""$.
Proprietatea 2
Dacă seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge absolut și $C=(\rm const)$, atunci seria $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ de asemenea converge absolut.
Proprietatea 3
Dacă seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ și $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ converg absolut, atunci seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ converg de asemenea absolut.
Proprietatea 4 (teorema lui Riemann)
Dacă seria converge condiționat, atunci indiferent ce număr A luăm, putem rearanja termenii acestei serii astfel încât suma ei să fie exact egală cu A; în plus, este posibil să se rearanjeze termenii unei serii condițional convergente în așa fel încât după aceea să diverge.
Exemplul 1
Investigați seria pentru convergența condiționată și absolută
\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Soluţie. Această serie este alternantă de semne, termenul comun al căruia îl notăm: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Exemplul 2
Examinați seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ pentru convergența absolută și condiționată.
- Examinăm seria pentru convergență absolută. Notați $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ și compuneți o serie de valori absolute $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Obținem seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ cu termeni pozitivi, cărora le aplicăm criteriul limită pentru compararea seriilor. Pentru comparație cu $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ considerați o serie care are forma $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty ) )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Această serie este o serie Dirichlet cu exponent $p=\frac(1)(2)
- Apoi, examinăm seria originală $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ pentru condițional convergenţă. Pentru a face acest lucru, verificăm îndeplinirea condițiilor testului Leibniz. Condiția 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, unde $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , adică această serie este alternativă. Pentru a verifica condiția 2) privind scăderea monotonă a termenilor seriei, folosim următoarea metodă. Luați în considerare funcția auxiliară $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ definită pentru $x\in (|a_(n)|))). Apoi
Afirmația convergenței în semnele lui Cauchy și d'Alembert este derivată dintr-o comparație cu o progresie geometrică (cu numitori lim¯n → ∞ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\la \infty)\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|)și α (\displaystyle \alpha) respectiv), despre divergență - din faptul că termenul comun al seriei nu tinde spre zero.
Testul Cauchy este mai puternic decât testul d'Alembert în sensul că dacă testul d'Alembert indică convergenţă, atunci testul Cauchy indică convergenţă; dacă testul Cauchy nu ne permite să tragem o concluzie despre convergență, atunci testul d'Alembert nu ne permite să tragem nicio concluzie; există serii pentru care testul Cauchy indică convergenţă, dar testul d'Alembert nu indică convergenţă.
Integral sign Cauchy - Maclarin
Să se dea o serie ∑ n = 1 ∞ o n , o n ≥ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0)și funcția f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \la \mathbb (R) ) astfel încât:
Apoi serialul ∑ n = 1 ∞ o n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n))și integrală ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx) converg sau diverge în același timp și ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ o n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\\sum _(n=k)^(\infty )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))
Semnează Raabe
Să se dea o serie ∑ o n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0)și R n = n (a n a n + 1 - 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n)))(a_(n+1)))-1\right)).
Semnul Raabe se bazează pe comparație cu seria armonică generalizată
Acțiuni de rând
Exemple
Luați în considerare serialul 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). Pentru acest rând:
Astfel, testul Cauchy indică convergență, în timp ce testul d'Alembert nu permite să se tragă nicio concluzie.
Luați în considerare serialul ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))
Astfel, testul Cauchy indică divergență, în timp ce testul d'Alembert nu permite să se tragă nicio concluzie.
Rând ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha )))) converge la α > 1 (\displaystyle \alpha >1)și diverge la α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), dar:
Astfel, semnele lui Cauchy și d'Alembert nu ne permit să tragem nicio concluzie.
Rând ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n))) converge condiționat după criteriul Leibniz, dar nu absolut, din moment ce seria armonică ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n))) diverge.
, este nemărginit în vecinătatea stângă a punctului b (\displaystyle b). Integrală improprie de al doilea fel ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx) numit absolut convergente dacă integrala converge ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).