साइन-अल्टरनेटिंग सीरीज़, निरपेक्ष और सशर्त अभिसरण। श्रृंखला का पूर्ण अभिसरण देखें कि "बिल्कुल अभिसरण श्रृंखला" अन्य शब्दकोशों में क्या है

प्रत्यावर्ती श्रंखला वे शृंखलाएँ हैं जिनके पद बारी-बारी से धनात्मक और ऋणात्मक होते हैं। . सबसे अधिक बार, वैकल्पिक श्रृंखला पर विचार किया जाता है, जिसमें शब्द एक के माध्यम से वैकल्पिक होते हैं: प्रत्येक सकारात्मक के बाद एक नकारात्मक होता है, प्रत्येक नकारात्मक के बाद एक सकारात्मक होता है। लेकिन ऐसी बारी-बारी से पंक्तियाँ होती हैं जिनमें सदस्य दो, तीन और इसी तरह बारी-बारी से करते हैं।

एक वैकल्पिक श्रृंखला के उदाहरण पर विचार करें, जिसकी शुरुआत इस तरह दिखती है:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

और तुरंत सामान्य नियमबारी-बारी से पंक्तियों का रिकॉर्ड।

जैसा कि किसी भी श्रृंखला के मामले में, इस श्रृंखला को जारी रखने के लिए, आपको एक फ़ंक्शन निर्दिष्ट करना होगा जो श्रृंखला के सामान्य शब्द को निर्धारित करता है। हमारे मामले में, यह एन + 2 .

और श्रृंखला के सदस्यों के संकेतों का प्रत्यावर्तन कैसे सेट करें? फ़ंक्शन को माइनस एक से कुछ डिग्री तक गुणा करना। किस डिग्री में? हम तुरंत इस बात पर जोर देते हैं कि कोई भी डिग्री श्रृंखला की शर्तों पर संकेतों का प्रत्यावर्तन प्रदान नहीं करती है।

मान लीजिए कि हम चाहते हैं कि एक वैकल्पिक श्रृंखला का पहला पद सकारात्मक हो, जैसा कि उपरोक्त उदाहरण में है। फिर माइनस वन पावर में होना चाहिए एन- 1। एक से शुरू होने वाली संख्याओं को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करना प्रारंभ करें और आपको प्राप्त होगा एक घातांक के रूप में शून्य से एक, फिर एक सम, फिर एक विषम संख्या। संकेतों के प्रत्यावर्तन के लिए यह आवश्यक शर्त है! हमें वही परिणाम मिलता है जब एन+ 1। यदि हम चाहते हैं कि प्रत्यावर्ती श्रेणी का पहला पद ऋणात्मक हो, तो हम सामान्य पद के फलन को घात से गुणा करके इस श्रृंखला को निर्दिष्ट कर सकते हैं एन. हमें एक सम संख्या मिलती है, फिर एक विषम संख्या, इत्यादि। जैसा कि आप देख सकते हैं, संकेतों के प्रत्यावर्तन के लिए पहले से वर्णित शर्त पूरी हो गई है।

इस प्रकार, हम उपरोक्त प्रत्यावर्ती श्रृंखला को सामान्य रूप में लिख सकते हैं:

एक श्रृंखला के एक पद के वैकल्पिक संकेतों के लिए, घात घटाकर एक का योग हो सकता है एनऔर कोई धनात्मक या ऋणात्मक, सम या विषम संख्या। वही 3 . पर लागू होता है एन , 5एन, ... अर्थात्, प्रत्यावर्ती श्रृंखला के सदस्यों के संकेतों का प्रत्यावर्तन योग के रूप में माइनस वन पर डिग्री प्रदान करता है एनकिसी भी विषम संख्या और किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है।

माइनस वन पर कौन सी डिग्री श्रृंखला के सदस्यों के संकेतों का प्रत्यावर्तन प्रदान नहीं करती है? जो फॉर्म में मौजूद हैं एनकिसी भी संख्या से गुणा किया जाता है, जिसमें शून्य, सम या विषम सहित कोई भी संख्या जोड़ दी जाती है। ऐसी डिग्री के संकेतकों के उदाहरण: 2 एन , 2एन + 1 , 2एन − 1 , 2एन + 3 , 4एन+ 3 ... ऐसी डिग्री के मामले में, जिस संख्या के साथ "एन" जोड़ा जाता है, एक सम संख्या से गुणा किया जाता है, या तो केवल सम या केवल विषम संख्याएं प्राप्त होती हैं, जैसा कि हम पहले ही पता लगा चुके हैं, करता है श्रृंखला के सदस्यों के संकेतों का प्रत्यावर्तन न दें।

वैकल्पिक श्रृंखला - एक विशेष मामला वैकल्पिक श्रृंखला . प्रत्यावर्ती श्रृखंला ऐसी श्रंखला होती है जिसमें मनमाने चिन्ह वाले सदस्य होते हैं , यानी वे जो किसी भी क्रम में सकारात्मक और नकारात्मक हो सकते हैं। एक वैकल्पिक श्रृंखला का एक उदाहरण:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

अगला, प्रत्यावर्ती और प्रत्यावर्ती श्रृंखला के लिए अभिसरण मानदंड पर विचार करें। वैकल्पिक श्रृंखला के सशर्त अभिसरण को लाइबनिज़ परीक्षण का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है। और श्रृंखला की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए - बारी-बारी से (वैकल्पिक सहित) - पूर्ण अभिसरण का संकेत है।

प्रत्यावर्ती श्रृंखला का अभिसरण। लाइबनिज़ संकेत

प्रत्यावर्ती श्रृंखला के लिए, अभिसरण का निम्नलिखित परीक्षण होता है - लाइबनिज परीक्षण।

प्रमेय (लीबनिज़ परीक्षण)।एक श्रृंखला अभिसरण करती है, और इसका योग पहले पद से अधिक नहीं होता है, यदि निम्नलिखित दो शर्तें एक साथ पूरी होती हैं:

• प्रत्यावर्ती श्रेणी के सदस्यों के निरपेक्ष मान घटते हैं: तुम1 > तुम 2 > तुम 3 > ... > तुमएन >...;
• असीमित वृद्धि के साथ अपने सामान्य कार्यकाल की सीमा एनशून्य के बराबर।

परिणाम। यदि एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला के योग के लिए हम इसका योग लेते हैं एनशर्तों, तो इस मामले में अनुमत त्रुटि पहले खारिज किए गए शब्द के निरपेक्ष मान से अधिक नहीं होगी।

उदाहरण 1एक श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करें

समाधान। यह एक वैकल्पिक पंक्ति है। इसके सदस्यों के निरपेक्ष मान घटते हैं:

और सामान्य शब्द की सीमा

शून्य के बराबर:

लाइबनिज़ परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए श्रृंखला अभिसरण करती है।

उदाहरण 2एक श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करें

समाधान। यह एक वैकल्पिक पंक्ति है। आइए पहले साबित करें कि:

, .

यदि एक एन= 1 , तो सभी के लिए एन > एनअसमानता 12 एन − 7 > एन. बदले में, प्रत्येक के लिए एन. इसलिए, अर्थात् श्रृंखला के पद निरपेक्ष मान में घटते हैं। आइए हम श्रृंखला के उभयनिष्ठ पद की सीमा ज्ञात करें (प्रयोग करके) ल अस्पताल का नियम):

सामान्य पद की सीमा शून्य है। लाइबनिज मानदंड की दोनों शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए अभिसरण के प्रश्न का उत्तर सकारात्मक है।

उदाहरण 3एक श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करें

समाधान। एक वैकल्पिक श्रृंखला दी गई है। आइए जानें कि क्या लाइबनिज चिन्ह की पहली शर्त पूरी होती है, यानी आवश्यकता। आवश्यकता को पूरा करने के लिए, यह आवश्यक है कि

हमने सुनिश्चित किया है कि आवश्यकता सभी के लिए पूरी हो एन > 0 . पहला लाइबनिज परीक्षण संतुष्ट है। श्रृंखला के उभयनिष्ठ पद की सीमा ज्ञात कीजिए:

.

सीमा शून्य नहीं है। इस प्रकार, लाइबनिज़ परीक्षण की दूसरी शर्त संतुष्ट नहीं है, इसलिए अभिसरण प्रश्न से बाहर है।

उदाहरण 4एक श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करें

समाधान। इस श्रृंखला में, दो नकारात्मक शब्दों के बाद दो सकारात्मक पद आते हैं। यह सिलसिला भी बारी-बारी से चल रहा है। आइए जानें कि क्या लाइबनिज परीक्षण की पहली शर्त संतुष्ट है।

आवश्यकता सभी के लिए पूरी होती है एन > 1 . पहला लाइबनिज परीक्षण संतुष्ट है। पता लगाएँ कि क्या सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर है (L'Hopital के नियम का उपयोग करके):

.

हमें शून्य मिला। इस प्रकार, लाइबनिज़ परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। सम्मिश्रण स्थान पर है।

उदाहरण 5एक श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करें

समाधान। यह एक वैकल्पिक पंक्ति है। आइए जानें कि क्या लाइबनिज परीक्षण की पहली शर्त संतुष्ट है। इसलिये

,

इसलिये एन ≥ 0 , फिर 3 एन+ 2 > 0। बदले में, प्रत्येक के लिए एन, इसीलिए । नतीजतन, श्रृंखला की शर्तें निरपेक्ष मूल्य में घट जाती हैं। पहला लाइबनिज परीक्षण संतुष्ट है। आइए जानें कि क्या श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर है (L'Hopital के नियम का उपयोग करके):

.

एक शून्य मान प्राप्त किया। लाइबनिज़ परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए यह श्रृंखला अभिसरण करती है।

उदाहरण 6एक श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करें

समाधान। आइए जानें कि क्या इस वैकल्पिक श्रृंखला के लिए लाइबनिज परीक्षण की पहली शर्त संतुष्ट है:

श्रृंखला की शर्तें निरपेक्ष मूल्य में घट जाती हैं। पहला लाइबनिज परीक्षण संतुष्ट है। ज्ञात कीजिए कि क्या उभयनिष्ठ पद की सीमा शून्य के बराबर है:

.

सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर नहीं है। लाइबनिज चिन्ह की दूसरी शर्त पूरी नहीं होती है। इसलिए, यह श्रृंखला अलग हो जाती है।

लाइबनिज चिन्ह एक चिन्ह है श्रृंखला का सशर्त अभिसरण. इसका मतलब यह है कि ऊपर मानी गई वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण और विचलन के बारे में निष्कर्ष पूरक हो सकते हैं: ये श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण (या विचलन) करती हैं।

प्रत्यावर्ती श्रृंखला का पूर्ण अभिसरण

पंक्ति दें

- बारी-बारी से। अपने सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें:

परिभाषा। एक श्रृंखला को पूर्ण रूप से अभिसरण कहा जाता है यदि इसकी शर्तों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी एक श्रृंखला अभिसरण करती है। यदि एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला अभिसरण करती है, और उसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी एक श्रृंखला विचलन करती है, तो ऐसी प्रत्यावर्ती श्रृंखला कहलाती है सशर्त या बिल्कुल अभिसरण नहीं .

प्रमेय।यदि कोई श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरण करती है, तो वह सशर्त रूप से अभिसरण करती है।

उदाहरण 7निर्धारित करें कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण करती है

समाधान। सकारात्मक शब्दों के आगे इस श्रृंखला के अनुरूप यह श्रृंखला है सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला, कहाँ , तो श्रृंखला अलग हो जाती है। आइए देखें कि क्या लाइबनिज परीक्षण की शर्तें संतुष्ट हैं।

आइए श्रृंखला के पहले पाँच पदों के निरपेक्ष मान लिखें:

.

जैसा कि आप देख सकते हैं, श्रृंखला की शर्तें निरपेक्ष मूल्य में घट जाती हैं। पहला लाइबनिज परीक्षण संतुष्ट है। ज्ञात कीजिए कि क्या उभयनिष्ठ पद की सीमा शून्य के बराबर है:

शून्य मान प्राप्त किया। लाइबनिज़ परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। अर्थात् लाइबनिज के आधार पर अभिसरण होता है। और धनात्मक पदों वाली संगत श्रंखला अलग हो जाती है। इसलिए, यह श्रृंखला सशर्त रूप से परिवर्तित होती है।

उदाहरण 8निर्धारित करें कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण करती है

बिल्कुल, सशर्त, या भिन्न।

समाधान। इस श्रृंखला के अनुरूप, सकारात्मक शब्दों के बगल में, श्रृंखला है यह एक सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला है, जिसमें, श्रृंखला अलग हो जाती है। आइए देखें कि क्या लाइबनिज परीक्षण की शर्तें संतुष्ट हैं।

बारी-बारी से पंक्तियाँ। लाइबनिज चिन्ह।
निरपेक्ष और सशर्त अभिसरण

इस पाठ के उदाहरणों को समझने के लिए, सकारात्मक संख्यात्मक श्रृंखला में अच्छी तरह से वाकिफ होना आवश्यक है: एक श्रृंखला क्या है यह समझने के लिए, श्रृंखला के अभिसरण के आवश्यक संकेत को जानने के लिए, तुलना संकेतों को लागू करने में सक्षम होने के लिए, डी ' अलेम्बर्ट का चिन्ह, कॉची का चिन्ह। लेखों का क्रमिक रूप से अध्ययन करके विषय को लगभग खरोंच से उठाया जा सकता है चायदानी के लिए पंक्तियाँतथा डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह। कौची के लक्षण. तार्किक रूप से, यह पाठ लगातार तीसरा है, और यह न केवल वैकल्पिक पंक्तियों को समझने की अनुमति देगा, बल्कि पहले से कवर की गई सामग्री को समेकित करने की भी अनुमति देगा! थोड़ी नवीनता होगी, और वैकल्पिक पंक्तियों में महारत हासिल करना मुश्किल नहीं होगा। सब कुछ सरल और किफायती है।

एक वैकल्पिक श्रृंखला क्या है?यह नाम से ही स्पष्ट या लगभग स्पष्ट है। बस सबसे सरल उदाहरण।

श्रृंखला पर विचार करें और इसे और अधिक विस्तार से लिखें:

अब हत्यारे की टिप्पणी के लिए। एक वैकल्पिक श्रृंखला के सदस्य वैकल्पिक संकेत देते हैं: प्लस, माइनस, प्लस, माइनस, प्लस, माइनस, आदि। अनंत की ओर।

प्रत्यावर्तन एक गुणक प्रदान करता है: यदि सम है, तो एक धन चिह्न होगा, यदि विषम है, तो ऋण चिह्न होगा (जैसा कि आप पाठ से याद करते हैं) संख्या अनुक्रमों के बारे में, इस कोंटरापशन को "फ्लैशर" कहा जाता है)। इस प्रकार, वैकल्पिक श्रृंखला को "एन" की शक्ति से घटाकर "पहचाना" जाता है।

व्यावहारिक उदाहरणों में, श्रृंखला की शर्तों का प्रत्यावर्तन न केवल कारक प्रदान कर सकता है, बल्कि इसके भाइयों को भी प्रदान कर सकता है: , , ,…। उदाहरण के लिए:

नुकसान "चाल" है:, आदि। ऐसे गुणक हैं संकेत परिवर्तन प्रदान न करें. यह बिल्कुल स्पष्ट है कि किसी भी प्राकृतिक : , , . चाल के साथ पंक्तियाँ न केवल विशेष रूप से प्रतिभाशाली छात्रों के लिए फिसल जाती हैं, वे कभी-कभी हल करने के दौरान "स्वयं" दिखाई देती हैं कार्यात्मक पंक्तियाँ.

अभिसरण के लिए एक वैकल्पिक श्रृंखला की जांच कैसे करें?लाइबनिज चिन्ह का प्रयोग करें। मैं गॉटफ्रीड विल्हेम लिबनिज़ के विचार के जर्मन दिग्गज के बारे में बात नहीं करना चाहता, क्योंकि गणितीय कार्यों के अलावा, उन्होंने दर्शन पर कई संस्करणों को धराशायी कर दिया। दिमाग के लिए खतरनाक।

लाइबनिज़ संकेत: यदि प्रत्यावर्ती श्रृंखला के सदस्य नीरस रूप सेमॉड्यूलो को कम करें, फिर श्रृंखला अभिसरण करती है।

या दो पैराग्राफ में:

1) श्रृंखला साइन-अल्टरनेटिंग है।

2) श्रृंखला की शर्तें मॉड्यूलो को कम करती हैं: इसके अलावा, नीरस रूप से घटती हैं।

यदि इन शर्तों को पूरा किया जाता है, तो श्रृंखला अभिसरण करती है.

संक्षिप्त जानकारीमॉड्यूल के बारे में मैनुअल में दिया गया है हॉट स्कूल गणित सूत्र, लेकिन फिर से सुविधा के लिए:

"मोडुलो" का क्या मतलब होता है? मॉड्यूल, जैसा कि हम स्कूल से याद करते हैं, ऋण चिह्न "खाता है"। आइए श्रृंखला पर वापस जाएं . इरेज़र से सभी चिह्नों को मानसिक रूप से मिटा दें और संख्याओं को देखो. हम देखेंगे कि प्रत्येक अगलापंक्ति सदस्य कमपिछले एक की तुलना में। इस प्रकार, निम्नलिखित वाक्यांशों का एक ही अर्थ है:

- एक श्रृंखला के सदस्य बिना संकेत केकमी।
- श्रृंखला के सदस्य घट रहे हैं सापेक्ष.
- श्रृंखला के सदस्य घट रहे हैं पर निरपेक्ष मूल्य.
– मापांकश्रृंखला का सामान्य शब्द शून्य हो जाता है:

// मदद का अंत

अब थोड़ी एकरसता के बारे में बात करते हैं। एकरसता उबाऊ निरंतरता है।

पंक्ति सदस्य सख्ती से मोनोटोनयदि श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य हो तो मॉड्यूलो को कम करें सापेक्षपिछले से कम: . एक नंबर के लिए घटने की सख्त एकरसता पूरी होती है, इसका विस्तार से वर्णन किया जा सकता है:

और हम संक्षेप में कह सकते हैं: श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य सापेक्षपिछले एक से कम:।

पंक्ति सदस्य सख्ती से एकरस नहींमापांक में कमी, यदि श्रृंखला मॉड्यूल का प्रत्येक अगला पद पिछले एक से बड़ा नहीं है:। एक भाज्य के साथ एक श्रृंखला पर विचार करें: यहां, गैर-सख्त एकरसता होती है, क्योंकि श्रृंखला के पहले दो शब्द निरपेक्ष मूल्य में समान हैं। यानी श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य सापेक्षपिछले एक से अधिक नहीं:।

लाइबनिज़ के प्रमेय की शर्तों के तहत, कमी की एकरसता को संतुष्ट किया जाना चाहिए (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह सख्त या गैर-सख्त है)। इसके अलावा, श्रृंखला के सदस्य कर सकते हैं कुछ समय के लिए मोडुलो भी बढ़ाएँ, लेकिन श्रृंखला की "पूंछ" अनिवार्य रूप से नीरस रूप से घटती होनी चाहिए।

मैंने जो ढेर किया है, उससे डरने की जरूरत नहीं है, व्यावहारिक उदाहरण सब कुछ अपनी जगह पर रख देंगे:

उदाहरण 1

श्रृंखला के सामान्य शब्द में कारक शामिल है, और यह लाइबनिज़ परीक्षण की शर्तों की पूर्ति की जाँच करने के लिए एक प्राकृतिक विचार का सुझाव देता है:

1) प्रत्यावर्तन के लिए पंक्ति की जाँच करना। आमतौर पर, निर्णय में इस बिंदु पर, श्रृंखला का विस्तार से वर्णन किया जाता है और निर्णय पारित करें "श्रृंखला साइन-अल्टरनेटिंग है"।

2) क्या श्रृंखला की शर्तें मॉड्यूलो को कम करती हैं? यहां आपको उस सीमा को हल करने की आवश्यकता है, जो अक्सर बहुत सरल होती है।

- श्रृंखला की शर्तें निरपेक्ष मूल्य में कमी नहीं करती हैं, और यह स्वचालित रूप से इसके विचलन को दर्शाता है - इस कारण से कि सीमा मौजूद नहीं है *, यानी श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड पूरा नहीं होता है।

उदाहरण 9

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

उदाहरण 10

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

एक स्पष्ट विवेक के साथ संख्यात्मक सकारात्मक और वैकल्पिक श्रृंखला के गुणात्मक अध्ययन के बाद, आप कार्यात्मक श्रृंखला पर आगे बढ़ सकते हैं, जो कम नीरस और समान रूप से दिलचस्प नहीं हैं।

परिभाषा 1

संख्या शृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, जिसके सदस्यों में मनमाना चिह्न (+), (?) होते हैं, प्रत्यावर्ती श्रेणी कहलाती है।

ऊपर मानी गई प्रत्यावर्ती श्रृंखला, प्रत्यावर्ती श्रृंखला का एक विशेष मामला है; यह स्पष्ट है कि प्रत्येक प्रत्यावर्ती श्रृंखला प्रत्यावर्ती नहीं होती है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ अल्टरनेटिंग लेकिन कैरेक्टर-अल्टरनेटिंग सीरीज़ नहीं।

ध्यान दें कि शब्दों की एक वैकल्पिक श्रृंखला में, चिह्न (+) और चिह्न (-) दोनों के साथ, अपरिमित रूप से कई हैं। यदि यह सत्य नहीं है, उदाहरण के लिए, श्रृंखला में सीमित संख्या में नकारात्मक शब्द हैं, तो उन्हें त्याग दिया जा सकता है और केवल सकारात्मक शब्दों से बनी श्रृंखला पर विचार किया जा सकता है, और इसके विपरीत।

परिभाषा 2

यदि संख्या श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ अभिसरण करती है और इसका योग S के बराबर है, और आंशिक योग $S_n$ के बराबर है, तो $r_(n) ) =S-S_(n) $ को श्रृंखला का शेष भाग कहा जाता है, और $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ से \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, यानी। अभिसरण श्रृंखला का शेष भाग 0 हो जाता है।

परिभाषा 3

एक श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ को पूरी तरह से अभिसरण कहा जाता है यदि श्रृंखला अपने सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी हो $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n)\right| $.

परिभाषा 4

यदि संख्या श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ अभिसरण करती है और श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( एन)\दाएं| $, अपने सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बना है, विचलन करता है, फिर मूल श्रृंखला को सशर्त (गैर-बिल्कुल) अभिसरण कहा जाता है।

प्रमेय 1 (वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण के लिए पर्याप्त मानदंड)

वैकल्पिक श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ पूरी तरह से अभिसरण करती है यदि श्रृंखला अपने सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी हो$\sum \limits _(n=1) ^ अभिसरण (\infty )\left|u_(n) \right| $.

टिप्पणी

प्रमेय 1 प्रत्यावर्ती श्रेणी के अभिसरण के लिए केवल एक पर्याप्त शर्त देता है। विलोम प्रमेय सत्य नहीं है, अर्थात। यदि वैकल्पिक श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ अभिसरण करती है, तो यह आवश्यक नहीं है कि श्रृंखला मॉड्यूल $\sum \limits _(n=1)^ से बनी हो ( \infty )\left|u_(n) \right| $ (यह या तो अभिसरण या भिन्न हो सकता है)। उदाहरण के लिए, श्रृंखला $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ लाइबनिज़ परीक्षण के अनुसार अभिसरण करता है, और इसकी शर्तों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी श्रृंखला $\sum \limits _(n) है =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (हार्मोनिक श्रंखला) डाइवर्ज करता है।

संपत्ति 1

यदि श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ पूरी तरह से अभिसरण करती है, तो यह अपने सदस्यों के किसी भी क्रमपरिवर्तन के लिए बिल्कुल अभिसरण करती है, और श्रृंखला का योग क्रम पर निर्भर नहीं करता है सदस्यों की। यदि $S"$ इसके सभी सकारात्मक पदों का योग है, और $S""$ इसके ऋणात्मक पदों के सभी निरपेक्ष मानों का योग है, तो श्रृंखला का योग $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ बराबर है $S=S"-S""$।

संपत्ति 2

यदि श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ पूरी तरह से अभिसरण करती है और $C=(\rm const)$, तो श्रृंखला $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ भी पूरी तरह से अभिसरण करता है।

संपत्ति 3

यदि श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ और $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ पूरी तरह से अभिसरण करते हैं, तो श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ भी पूरी तरह से अभिसरण करती है।

गुण 4 (रिमेंन की प्रमेय)

यदि श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है, तो हम चाहे कितनी भी संख्या A लें, हम इस श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि इसका योग A के बराबर हो; इसके अलावा, सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की शर्तों को इस तरह से पुनर्व्यवस्थित करना संभव है कि उसके बाद यह अलग हो जाए।

उदाहरण 1

सशर्त और पूर्ण अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

समाधान। यह श्रृंखला साइन-अल्टरनेटिंग है, जिसका सामान्य शब्द हम निरूपित करते हैं: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

उदाहरण 2

निरपेक्ष और सशर्त अभिसरण के लिए श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ की जांच करें।

1. हम पूर्ण अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करते हैं। $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ को निरूपित करें और निरपेक्ष मानों की एक श्रृंखला लिखें $a_(n) =\बाएं| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. हमें श्रृंखला मिलती है $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ सकारात्मक शब्दों के साथ, जिस पर हम श्रृंखला तुलना के लिए सीमा मानदंड लागू करते हैं। $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) के साथ तुलना के लिए (n+1) $ एक श्रृंखला पर विचार करें जिसका रूप है $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. यह श्रृंखला घातांक $p=\frac(1)(2) के साथ एक डिरिचलेट श्रृंखला है
2. इसके बाद, हम सशर्त के लिए मूल श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ की जांच करते हैं अभिसरण। ऐसा करने के लिए, हम लाइबनिज़ परीक्षण की शर्तों की पूर्ति की जाँच करते हैं। शर्त 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, जहां $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , अर्थात। यह श्रृंखला बारी-बारी से है। शर्त 2 को सत्यापित करने के लिए) श्रृंखला की शर्तों की एकरसता में कमी पर, हम निम्नलिखित विधि का उपयोग करते हैं। सहायक फ़ंक्शन पर विचार करें $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ के लिए परिभाषित $x\in (|a_(n)|))). फिर

   कॉची और डी'अलेम्बर्ट के संकेतों में अभिसरण का दावा एक ज्यामितीय प्रगति (हरों के साथ) के साथ तुलना से लिया गया है चूना → | ए एन + 1 ए एन | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|)तथा α (\displaystyle \alpha )क्रमशः), विचलन के बारे में - इस तथ्य से कि श्रृंखला का सामान्य शब्द शून्य नहीं होता है।

   कॉची परीक्षण d'Alembert परीक्षण से इस अर्थ में अधिक शक्तिशाली है कि यदि d'Alembert परीक्षण अभिसरण को इंगित करता है, तो कॉची परीक्षण अभिसरण को इंगित करता है; यदि कॉची परीक्षण हमें अभिसरण के बारे में निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है, तो डी'अलेम्बर्ट परीक्षण भी हमें कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है; ऐसी श्रृंखलाएँ हैं जिनके लिए कॉची परीक्षण अभिसरण को इंगित करता है, लेकिन डी'अलेम्बर्ट परीक्षण अभिसरण को इंगित नहीं करता है।

   इंटीग्रल   साइन कॉची - मैकलारिन

   मान लीजिए एक श्रंखला दी गई है ∑ n = 1 ∞ a n , a n ≥ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0)और समारोह f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) )ऐसा है कि:

   फिर श्रृंखला ∑ n = 1 a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n))और अभिन्न ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx)एक ही समय में अभिसरण या विचलन, और ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k a n k ∞ f (x) d x n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\infty )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

   साइन राबे

   मान लीजिए एक श्रंखला दी गई है एक n (\displaystyle \sum a_(n)), एक n > 0 (\displaystyle a_(n)>0)तथा R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)).

   राबे संकेत सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला के साथ तुलना पर आधारित है

   पंक्ति क्रियाएं

   उदाहरण

   श्रृंखला पर विचार करें 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). इस पंक्ति के लिए:

   इस प्रकार, कॉची परीक्षण अभिसरण को इंगित करता है, जबकि डी'अलेम्बर्ट परीक्षण किसी निष्कर्ष को निकालने की अनुमति नहीं देता है।

   श्रृंखला पर विचार करें ∑ n = 1 ∞ 2 n - (- 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))

   इस प्रकार, कॉची परीक्षण विचलन को इंगित करता है, जबकि डी'अलेम्बर्ट परीक्षण किसी निष्कर्ष को निकालने की अनुमति नहीं देता है।

   पंक्ति n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha ))))पर अभिसरण करता है α > 1 (\displaystyle \alpha >1)और अलग हो जाता है α 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), लेकिन:

   इस प्रकार, कॉची और डी'अलेम्बर्ट के संकेत हमें कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देते हैं।

   पंक्ति ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n)))लाइबनिज़ मानदंड के अनुसार सशर्त रूप से अभिसरण करता है, लेकिन बिल्कुल नहीं, क्योंकि हार्मोनिक श्रृंखला एन = 1 | (- 1) एन एन | = n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n)))विचलन।

   , बिंदु के बाएं पड़ोस में असीम है बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी). दूसरे प्रकार का अनुचित समाकलन ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx)बुलाया बिल्कुल अभिसरणअगर अभिन्न अभिसरण ए बी | एफ (एक्स) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).