İşarəni dəyişən sıra, mütləq və şərti yaxınlaşma. Seriyaların mütləq yaxınlaşması Digər lüğətlərdə "mütləq konvergent seriya"nın nə olduğuna baxın
Alternativ sıralar, şərtləri alternativ olaraq müsbət və mənfi olan seriyalardır. . Ən tez-tez, şərtlərin biri ilə növbələşdiyi alternativ seriyalar nəzərdən keçirilir: hər bir müsbətdən sonra mənfi, hər bir mənfidən sonra müsbətdir. Amma bir-birini əvəz edən sıralar var ki, orada üzvlərin iki, üç və s.-dən sonra bir-birini əvəz etməsi.
Alternativ seriya nümunəsini nəzərdən keçirin, başlanğıcı belə görünür:
3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...
və dərhal ümumi qaydalar növbəli sıraların qeydləri.
İstənilən seriyada olduğu kimi, bu seriyanı davam etdirmək üçün seriyanın ümumi müddətini təyin edən funksiyanı təyin etmək lazımdır. Bizim vəziyyətimizdə bu n + 2 .
Və seriya üzvlərinin işarələrinin növbəsini necə təyin etmək olar? Funksiyanı müəyyən dərəcədə mənfi birə vurmaq. Hansı dərəcədə? Dərhal vurğulayırıq ki, heç bir dərəcə seriyanın şərtlərində işarələrin növbələşməsini təmin etmir.
Tutaq ki, yuxarıdakı misalda olduğu kimi, alternativ sıranın birinci həddinin müsbət olmasını istəyirik. Sonra mənfi biri gücdə olmalıdır n− 1. Bu ifadədə birdən başlayan nömrələri əvəz etməyə başlayın və alacaqsınız eksponent kimi mənfi bir, sonra cüt, sonra tək ədəd. Bu, işarələrin dəyişməsi üçün zəruri şərtdir! Zamanla eyni nəticəni alırıq n+ 1. Əgər dəyişən silsilənin birinci üzvünün mənfi olmasını istəyiriksə, o zaman ümumi termin funksiyasını qüvvəyə birə vuraraq bu sıranı təyin edə bilərik. n. Biz cüt ədəd, sonra tək ədəd və s. Gördüyünüz kimi, işarələrin dəyişdirilməsi üçün artıq təsvir edilmiş şərt yerinə yetirilmişdir.
Beləliklə, yuxarıdakı alternativ sıraları ümumi formada yaza bilərik:
Bir sıra müddətinin dəyişən əlamətləri üçün güc mənfi bir cəmi ola bilər n və istənilən müsbət və ya mənfi, cüt və ya tək ədəd. Eyni şey 3-ə də aiddir n , 5n, ... Yəni dəyişən sıra üzvlərinin işarələrinin bir-birini əvəz etməsi cəm şəklində mənfi birdə dərəcəni təmin edir. n istənilən tək ədədə və istənilən ədədə vurulur.
Mənfi birdə hansı dərəcələr sıra üzvlərinin işarələrinin növbələşməsini təmin etmir? Formada mövcud olanlar n sıfır, cüt və ya tək də daxil olmaqla istənilən ədədin əlavə olunduğu istənilən cüt ədədə vurulur. Belə dərəcələrin göstəricilərinə nümunələr: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... Belə dərəcələr olduqda, "en" nin əlavə edildiyi nömrədən asılı olaraq, cüt ədədə vurulur, ya yalnız cüt, ya da yalnız tək ədədlər alınır ki, bu da artıq aşkar etdiyimiz kimi silsilənin üzvlərinin işarələrinin növbələşməsini vermir.
Alternativ seriyalar - xüsusi bir vəziyyət alternativ seriyalar . Alternativ sıralar ixtiyari işarələrin üzvləri olan sıralardır , yəni istənilən ardıcıllıqla müsbət və mənfi ola bilənlər. Alternativ bir sıra nümunəsi:
3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...
Sonra, alternativ və alternativ sıralar üçün yaxınlaşma meyarlarını nəzərdən keçirin. Alternativ sıraların şərti yaxınlaşması Leybniz testindən istifadə etməklə müəyyən edilə bilər. Və daha geniş sıra üçün - alternativ (o cümlədən alternativ) - mütləq yaxınlaşma əlaməti var.
Alternativ sıraların yaxınlaşması. Leibniz işarəsi
Alternativ sıralar üçün aşağıdakı yaxınlaşma testi baş verir - Leybniz testi.
Teorem (Leybniz testi). Aşağıdakı iki şərt eyni vaxtda yerinə yetirilərsə, sıra yaxınlaşır və onun cəmi birinci hədddən artıq olmur:
- alternativ sıra üzvlərinin mütləq dəyərləri azalır: u1 > u 2 > u 3 > ... > u n > ...;
- qeyri-məhdud artımla ümumi müddətinin həddi n sıfıra bərabərdir.
Nəticə. Əgər alternativ sıranın cəmi üçün onun cəmini götürürük nşərtlər, onda bu halda yol verilən xəta ilk atılan terminin mütləq dəyərindən artıq olmayacaq.
Misal 1 Seriyanın yaxınlaşmasını araşdırın
Həll. Bu alternativ sıradır. Üzvlərinin mütləq dəyərləri azalır:
və ümumi terminin həddi
sıfıra bərabərdir:
Leybnits testinin hər iki şərti təmin edilir, buna görə də seriyalar yaxınlaşır.
Misal 2 Seriyanın yaxınlaşmasını araşdırın
Həll. Bu alternativ sıradır. Əvvəlcə bunu sübut edək:
,
.
Əgər a N= 1, sonra hamı üçün n > N bərabərsizlik 12 n − 7 > n. Öz növbəsində, hər biri üçün n. Deməli, seriyanın şərtləri mütləq qiymətdə azalır. Seriyanın ümumi termininin limitini tapaq (istifadə edərək L'Hopital qaydası):
Ümumi terminin həddi sıfırdır. Leybniz meyarının hər iki şərti yerinə yetirilir, ona görə də yaxınlaşma sualının cavabı müsbətdir.
Misal 3 Seriyanın yaxınlaşmasını araşdırın
Həll. Alternativ seriya verilir. Leybnits işarəsinin birinci şərtinin, yəni tələbin ödənilib-keçirilmədiyini öyrənək. Tələbin yerinə yetirilməsi üçün bu lazımdır
Tələbin hamı üçün yerinə yetirildiyinə əmin olduq n > 0 . İlk Leibniz testi təmin edildi. Seriyanın ümumi müddətinin həddi tapın:
.
Limit sıfır deyil. Beləliklə, Leybniz testinin ikinci şərti təmin olunmur, ona görə də konvergensiyadan söhbət gedə bilməz.
Misal 4 Seriyanın yaxınlaşmasını araşdırın
Həll. Bu seriyada iki mənfi termindən sonra iki müsbət termin gəlir. Bu seriya da bir-birini əvəz edir. Leybniz testinin birinci şərtinin təmin edilib-edilmədiyini öyrənək.
Tələb hamı üçün yerinə yetirilir n > 1 . İlk Leibniz testi təmin edildi. Ümumi terminin limitinin sıfıra bərabər olub olmadığını öyrənin (L'Hopital qaydasından istifadə edərək):
.
Sıfır aldıq. Beləliklə, Leybniz testinin hər iki şərti təmin edilir. Konvergensiya yerindədir.
Misal 5 Seriyanın yaxınlaşmasını araşdırın
Həll. Bu alternativ sıradır. Leybniz testinin birinci şərtinin təmin edilib-edilmədiyini öyrənək. Çünki
,
Çünki n ≥ 0 , sonra 3 n+ 2 > 0. Öz növbəsində, hər biri üçün n, buna görə də . Nəticədə, seriyanın şərtləri mütləq dəyərdə azalır. İlk Leibniz testi təmin edildi. Seriyanın ümumi müddətinin limitinin sıfıra bərabər olub olmadığını öyrənək (L'Hopital qaydasından istifadə etməklə):
.
Boş dəyər alındı. Leybniz testinin hər iki şərti təmin edilir, ona görə də bu sıra yaxınlaşır.
Misal 6 Seriyanın yaxınlaşmasını araşdırın
Həll. Bu dəyişən sıra üçün Leybniz testinin birinci şərtinin təmin edilib-edilmədiyini öyrənək:
Seriyanın şərtləri mütləq dəyərdə azalır. İlk Leibniz testi təmin edildi. Ümumi terminin limitinin sıfıra bərabər olub olmadığını öyrənin:
.
Ümumi terminin həddi sıfıra bərabər deyil. Leybniz işarəsinin ikinci şərti yerinə yetirilmir. Buna görə də, bu seriya bir-birindən ayrılır.
Leibniz işarəsi bir işarədir silsilənin şərti yaxınlaşması. Bu o deməkdir ki, yuxarıda nəzərdən keçirilən növbəli sıraların yaxınlaşması və ayrılması ilə bağlı nəticələr əlavə edilə bilər: bu sıralar şərti olaraq yaxınlaşır (və ya ayrılır).
Alternativ sıraların mütləq yaxınlaşması
Sıra qoysun
- növbəli. Üzvlərinin mütləq dəyərlərindən ibarət bir sıra düşünün:
Tərif. Əgər onun şərtlərinin mütləq qiymətlərindən ibarət sıra yaxınlaşırsa, sıra mütləq yaxınlaşan adlanır. Əgər dəyişən sıra yaxınlaşırsa və onun üzvlərinin mütləq qiymətlərindən ibarət sıra ayrılırsa, belə alternativ sıra adlanır. şərti və ya tamamilə konvergent deyil .
Teorem.Əgər sıra mütləq yaxınlaşırsa, şərti olaraq yaxınlaşır.
Misal 7 Serialın yaxınlaşıb yaxınlaşmadığını müəyyənləşdirin
Həll. Bu seriyaya uyğun gələn müsbət terminlərin yanında Bu seriyadır ümumiləşdirilmiş harmonik sıra, harada , beləliklə sıra ayrılır. Leybniz testinin şərtlərinin təmin edilib-edilmədiyini yoxlayaq.
Seriyanın ilk beş şərtinin mütləq qiymətlərini yazaq:
.
Göründüyü kimi, seriyanın şərtləri mütləq dəyərdə azalır. İlk Leibniz testi təmin edildi. Ümumi terminin limitinin sıfıra bərabər olub olmadığını öyrənin:
Boş dəyər alındı. Leybniz testinin hər iki şərti təmin edilir. Yəni, Leybnits əsasında konvergensiya baş verir. Və müsbət şərtləri olan müvafiq seriyalar ayrılır. Buna görə də bu sıra şərti olaraq yaxınlaşır.
Misal 8 Serialın yaxınlaşıb yaxınlaşmadığını müəyyənləşdirin
mütləq, şərti və ya fərqli.
Həll. Müsbət şərtlərin yanında bu seriyaya uyğun gələn seriyadır. Bu, ümumiləşdirilmiş harmonik seriyadır və buna görə də silsilələr ayrılır. Leybniz testinin şərtlərinin təmin edilib-edilmədiyini yoxlayaq.
Alternativ sıralar. Leibniz işarəsi.
Mütləq və şərti yaxınlaşma
Bu dərsin nümunələrini başa düşmək üçün müsbət ədədi sıraları yaxşı bilmək lazımdır: silsilənin nə olduğunu başa düşmək, silsilənin zəruri yaxınlaşma işarəsini bilmək, müqayisə işarələrini tətbiq etməyi bacarmaq, d' Alember əlaməti, Koşi əlamətləri. Məqalələri ardıcıl olaraq öyrənməklə mövzunu demək olar ki, sıfırdan qaldırmaq olar Çaydanlar üçün sıralar və D'Alembert işarəsi. Cauchy əlamətləri. Məntiqi olaraq, bu dərs ardıcıl üçüncüdür və bu, yalnız alternativ sıraları başa düşməyə deyil, həm də artıq əhatə olunmuş materialı birləşdirməyə imkan verəcəkdir! Yenilik az olacaq və növbəli sıraları mənimsəmək çətin olmayacaq. Hər şey sadə və əlverişlidir.
Alternativ seriya nədir? Bu artıq adından aydın və ya demək olar ki, aydındır. Sadəcə ən sadə misal.
Seriyanı nəzərdən keçirin və daha ətraflı yazın:
İndi qatil şərhinə. Alternativ sıranın üzvləri alternativ işarələr verir: üstəlik, mənfi, üstəlik, mənfi, üstəgəl, mənfi və s. sonsuzluğa.
Alternativ çarpan təmin edir: əgər cütdürsə, onda artı işarəsi, təkdirsə, mənfi işarəsi olacaq (dərsdən xatırladığınız kimi ədəd ardıcıllığı haqqında, bu ziddiyyət "flasher" adlanır). Beləliklə, alternativ sıra mənfi bir ilə "en" gücünə "identifikasiya olunur".
Praktik nümunələrdə sıra şərtlərinin növbələşməsi təkcə faktoru deyil, həm də onun qardaşlarını təmin edə bilər: , , , …. Misal üçün:
Tələ "hiylələr"dir:, və s. belə çarpanlardır işarə dəyişikliyini təmin etməyin. Tamamilə aydındır ki, hər hansı bir təbii üçün: , , . Hiyləli cərgələr təkcə xüsusi istedadlı tələbələrə ötürülür, onlar bəzən həll zamanı “öz-özünə” görünürlər. funksional sıralar.
Konvergensiya üçün alternativ sıranı necə yoxlamaq olar? Leybniz işarəsindən istifadə edin. Alman təfəkkür nəhəngi Qotfrid Vilhelm Leybniz haqqında danışmaq istəmirəm, çünki o, riyazi əsərlərlə yanaşı, fəlsəfəyə dair bir neçə cilddən yayınıb. Beyin üçün təhlükəlidir.
Leibniz işarəsi: Əgər alternativ sıra üzvləri monoton şəkildə modulu azaldır, sonra sıra birləşir.
Və ya iki bənddə:
1) Seriya işarə ilə növbələşir.
2) Seriyanın şərtləri modulu azaldır: , üstəlik, monoton şəkildə azalır.
Bu şərtlər yerinə yetirilərsə, seriyalar yaxınlaşır.
Qısa məlumat modul haqqında təlimatda verilmişdir İsti məktəb riyaziyyat düsturları, lakin rahatlıq üçün yenə:
"Modulo" nə deməkdir? Modul, məktəbdən xatırladığımız kimi, mənfi işarəni "yeyir". Seriala qayıdaq 
. Bütün işarələri silgi ilə zehni olaraq silin və rəqəmlərə baxın. Biz bunu görəcəyik hər növbəti sıra üzvü azəvvəlkindən daha çox. Beləliklə, aşağıdakı ifadələr eyni məna daşıyır:
- Serialın üzvləri işarəsiz azalma.
– Serialın üzvləri getdikcə azalır modulu.
– Serialın üzvləri getdikcə azalır haqqında mütləq dəyər.
– Modul seriyanın ümumi müddəti sıfıra meyllidir:
// yardımın sonu
İndi bir az monotonluqdan danışaq. Monotonluq darıxdırıcı sabitlikdir.
Sıra üzvləri ciddi monoton seriyanın HƏR NÖVBƏTİ üzvü olduqda modulu azaldın moduluƏvvəlkidən AZ: . Bir nömrə üçün azalmanın ciddi monotonluğu yerinə yetirilir, onu ətraflı təsvir etmək olar: 
Və qısaca deyə bilərik: seriyanın hər bir növbəti üzvü moduluəvvəlkindən az: .
Sıra üzvləri ciddi monoton deyil modulun azalması, əgər seriya modulunun HƏR NÖVBƏTİ bəndi əvvəlkindən BÖYÜK OLMAZsa: . Faktorialı olan bir sıra nəzərdən keçirin: 
Burada qeyri-ciddi monotonluq baş verir, çünki seriyanın ilk iki şərti mütləq dəyər baxımından eynidir. Yəni serialın hər növbəti üzvü moduluəvvəlkindən çox deyil: .
Leybnits teoreminin şərtlərində azalmanın monotonluğu təmin edilməlidir (onun ciddi və ya qeyri-ciddi olmasının fərqi yoxdur). Bundan əlavə, serialın üzvləri bilər hətta bir müddət modulu artırın, lakin serialın "quyruğu" mütləq monoton şəkildə azalmalıdır.
Yığdıqlarımdan qorxmaq lazım deyil, praktik nümunələr hər şeyi öz yerinə qoyacaq:
Misal 1
Seriyanın ümumi termini faktoru ehtiva edir və bu, Leibniz meyarının şərtlərinin yerinə yetirilməsini yoxlamaq üçün təbii bir düşüncəni təklif edir:
1) Sıranın dəyişmə üçün yoxlanılması. Adətən, qərarın bu nöqtəsində seriyalar ətraflı təsvir edilir 
və "Serial əlaməti növbəlidir" hökmünü çıxarır.
2) Seriyanın şərtləri modulu azaldırmı? Burada limiti həll etməlisiniz, bu da çox vaxt çox sadədir.
- seriyanın şərtləri mütləq qiymətdə azalmır və bu avtomatik olaraq onun fərqliliyini nəzərdə tutur - ona görə ki, limit 
mövcud deyil *, yəni silsilənin yaxınlaşması üçün zəruri meyar yerinə yetirilmir.
Misal 9
Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın
Misal 10
Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın 
Rəqəmsal müsbət və dəyişən sıraların təmiz bir vicdanla keyfiyyətcə öyrənilməsindən sonra, daha az monoton və eyni dərəcədə maraqlı olan funksional seriyalara keçə bilərsiniz.
Tərif 1
Üzvləri ixtiyari işarələrə (+), (?) malik olan $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ədəd seriyası alternativ sıra adlanır.
Yuxarıda nəzərdən keçirilən növbəli sıralar alternativ sıraların xüsusi halıdır; aydındır ki, hər bir alternativ seriya bir-birini əvəz etmir. Məsələn, $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) seriyası ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ növbəli, lakin simvol dəyişməyən seriyalar.
Qeyd edək ki, həm (+) işarəsi, həm də (-) işarəsi ilə dəyişən terminlər seriyasında sonsuz sayda var. Əgər bu doğru deyilsə, məsələn, seriya sonlu sayda mənfi şərtləri ehtiva edir, o zaman onlar ləğv edilə bilər və yalnız müsbət şərtlərdən ibarət sıra nəzərdən keçirilə bilər və əksinə.
Tərif 2
Əgər $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ birləşirsə və onun cəmi S-ə, qismən cəmi isə $S_n$-a bərabərdirsə, onda $r_(n) ) =S-S_( n) $ seriyanın qalan hissəsi adlanır və $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, yəni. konvergent seriyanın qalan hissəsi 0-a meyl edir.
Tərif 3
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ seriyası, $\sum \limits _(n=1) üzvlərinin mütləq qiymətlərindən ibarət olduqda, mütləq konvergent adlanır. )^(\ infty )\left|u_(n) \sağ| $.
Tərif 4
Əgər $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ birləşirsə və $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\sağ| $, üzvlərinin mütləq qiymətlərindən ibarətdir, ayrılır, sonra orijinal sıra şərti (mütləq olmayan) konvergent adlanır.
Teorem 1 (dəyişən sıraların yaxınlaşması üçün kifayət qədər meyar)
$\sum \limitlər _(n=1)^(\infty )u_(n) $ seriyası öz üzvlərinin mütləq qiymətlərindən ibarət olduqda $\sum \limitlər _(n=1) olarsa, alternativ seriyalar birləşir. ^ birləşir (\infty )\left|u_(n) \sağ| $.
Şərh
1-ci teorem dəyişən sıraların yaxınlaşması üçün yalnız kifayət qədər şərt verir. Əks teorem doğru deyil, yəni. əgər $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ birləşirsə, o zaman $\sum \limits _(n=1)^ modullarından ibarət seriyanın olması lazım deyil. ( \infty )\left|u_(n) \sağ| $ (ya konvergent və ya divergent ola bilər). Məsələn, $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( seriyası \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ Leybniz testinə görə birləşir və onun şərtlərinin mütləq qiymətlərindən ibarət sıra $\sum \limitlər _(n) təşkil edir. =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmonik sıra) ayrılır.
Mülk 1
Əgər $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ seriyası mütləq yaxınlaşırsa, o, üzvlərinin hər hansı bir dəyişməsi üçün mütləq yaxınlaşır və sıraların cəmi sıradan asılı deyildir. üzvlərindən. Əgər $S"$ onun bütün müsbət şərtlərinin cəmidirsə və $S""$ onun mənfi şərtlərinin bütün mütləq qiymətlərinin cəmidirsə, seriyanın cəmi $\sum \limitlər _(n=) təşkil edir. 1)^(\infty )u_(n) $ $S=S"-S""$-a bərabərdir.
Əmlak 2
Əgər $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ seriyası mütləq birləşirsə və $C=(\rm const)$, onda $\sum \limitləri _(n=1) )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ da mütləq birləşir.
Əmlak 3
Əgər $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ və $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ seriyaları mütləq yaxınlaşırsa, onda $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ seriyası da mütləq yaxınlaşır.
4-cü xassə (Rieman teoremi)
Əgər sıra şərti olaraq yaxınlaşırsa, onda hansı A rəqəmini götürsək də, bu silsilənin şərtlərini elə düzəldə bilərik ki, onun cəmi A-ya tam bərabər olsun; üstəlik, şərti yaxınlaşan sıranın şərtlərini elə yenidən təşkil etmək olar ki, ondan sonra ayrılsın.
Misal 1
Şərti və mütləq yaxınlaşma üçün sıraları araşdırın
\[\sum \limitlər _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Həll. Bu sıra işarə növbəlidir, ümumi termini işarə edirik: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Misal 2
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ seriyasını mütləq və şərti yaxınlaşma üçün araşdırın.
- Mütləq yaxınlaşma üçün seriyaları araşdırırıq. $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ işarələyin və bir sıra mütləq qiymətlər tərtib edin $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| seriyasını alırıq. =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ müsbət şərtlərlə, biz seriyaların müqayisəsi üçün limit kriteriyasını tətbiq edirik. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) ilə müqayisə üçün (n+1) $ $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty) formasına malik seriyanı nəzərdən keçirək. )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Bu seriya $p=\frac(1)(2) eksponenti olan Dirixlet seriyasıdır.
- Sonra şərti olaraq $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ seriyasını araşdırırıq. yaxınlaşma. Bunun üçün biz Leybniz testinin şərtlərinin yerinə yetirilməsini yoxlayırıq. Şərt 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, burada $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , yəni. bu seriya bir-birini əvəz edir. Seriyanın şərtlərinin monoton azalması üzrə şərt 2) yoxlamaq üçün aşağıdakı üsuldan istifadə edirik. $x\in (|a_(n)|))) üçün müəyyən edilmiş $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ köməkçi funksiyasını nəzərdən keçirək.. Sonra
Koşi və d'Alemberin işarələrində yaxınlaşma iddiası həndəsi irəliləyişlə (məxrəclərlə) müqayisədən irəli gəlir. lim¯n → ∞ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\sağ|) və α (\displaystyle \alpha) müvafiq olaraq), divergensiya haqqında - sıranın ümumi termininin sıfıra meyl etməməsindən.
Koşi testi d'Alember testindən daha güclüdür ki, əgər d'Alember testi yaxınlaşmanı göstərirsə, Koşi testi yaxınlaşmanı göstərir; əgər Koşi testi yaxınlaşma haqqında nəticə çıxarmağa imkan vermirsə, d'Alember testi də bizə heç bir nəticə çıxarmağa imkan vermir; Koşi testinin yaxınlaşmanı göstərdiyi seriyalar var, lakin d'Alembert testi yaxınlaşmanı göstərmir.
İnteqral işarəsi Koşi - Maklarin
Bir sıra verilsin ∑ n = 1 ∞ a n , a n ≥ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0) və funksiyası f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) ) belə:
Sonra serial ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n)) və inteqral ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limitlər _(1)^(\infty )f(x)dx) eyni zamanda yaxınlaşmaq və ya ayrılmaq, və ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\ )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))
Sign Raabe
Bir sıra verilsin ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0) və R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\sol((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\sağ)).
Raabe işarəsi ümumiləşdirilmiş harmonik sıra ilə müqayisəyə əsaslanır
Sıra hərəkətləri
Nümunələr
Serialı nəzərdən keçirin 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^() 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). Bu sıra üçün:
Beləliklə, Koşi testi yaxınlaşmanı göstərir, d'Alembert testi isə heç bir nəticə çıxarmağa imkan vermir.
Serialı nəzərdən keçirin ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))
Beləliklə, Koşi testi fərqliliyi göstərir, d'Alembert testi isə heç bir nəticə çıxarmağa imkan vermir.
Sıra ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alfa ))))-da birləşir α > 1 (\displaystyle \alpha >1) ilə ayrılır α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), Amma:
Beləliklə, Koşi və d'Alemberin əlamətləri heç bir nəticə çıxarmağa imkan vermir.
Sıra ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n))) Leybniz meyarına uyğun olaraq şərti birləşir, lakin mütləq deyil, çünki harmonik sıra ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\sağ|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n))) ayrılır.
, nöqtənin sol məhəlləsində sərhədsizdir b (\displaystyle b). İkinci növ düzgün olmayan inteqral ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limitlər _(a)^(b)f(x)dx)çağırdı tamamilə konvergent inteqral yaxınlaşarsa ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limitlər _(a)^(b)|f(x)|dx).